第03讲 全等三角形的常见模型-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第3讲 全等三角形常见模型专题探究 模型一 K型图 【知识点睛】 · K型图模型总结 图形 条件与结论 辅助线 注意事项 条件：AC=BC,AC⊥BC 结论： △ADC≌△CEB(AAS) 分别过点A、B作AD⊥l, BE⊥l K型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方形结合 K型全等模型变形——三垂定理： 如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS) 总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系 【类题训练】 1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 　 　． 4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点，AE＝EF，AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为 　 　． 5．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm． 6．为了测量楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33m，求楼AB的高度． 7．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． ​ 8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 9．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　DE＝BD+CE　； （2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 10．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB＝AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF　 　DF（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：CE＝2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 模型二 手拉手模型 【知识点睛】 · 手拉手模型总结 图形 条件与结论 辅助线 条件： AD=AE、AB=AC ∠BAC=∠DAE 结论： △ABD≌△ACE(SAS) BD=CE 分别连接BD、CE 手拉手模型在第一章只是表面应用，后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究 【类题训练】 1．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转能与△AE