22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

二次函数y=ax²的图像和性质 第二十二章 二次函数 学习目标 3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 1.正确理解抛物线的有关概念. 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 反比例函数的图象 一次函数的图象 二次函数的图象是什么样子的？ 一条直线 双曲线 先画二次函数y = x2的图象 二次函数y = ax2的图象的画法 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表 在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： * * 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点. 3.连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x * * 图象 y=kx（k≠0） 性质 k＞0 当k>0时，y的值随x值的增大而增大 k＜0 当k<0时，y的值随x值的增大而减小 观察一次函数y=kx（k≠0）图象 思考二次函数y=ax²（a≠0）图象有哪些性质？ 类比：根据一次函数y=kx（k≠0）中k的取值与图象的联系，猜测二次函数y=ax²（a≠0）中a与图象有何关联？ y= y=- 开口向上 开口向下 共同点： ①y=a ②对称轴：y轴 a>0 a<0 不同点 分类讨论思想：根据二次函数y= ax²（a≠0）中a的不同去探究图象的开口方向 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y = x2 y = 2x2 y = x2 2 ▁ 1 共同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小 y 轴右侧，y随x增大而增大 不同点：a 值越大，抛物线的开口越小． 例：在同一直角坐标系中，画出函数y=，y= ， y=2 观察三个函数图象的异同点 归纳推理： 通过ax2当中特殊的函数、2 的函数图像，观察其中所具有的共性，从而推理出a 都具有该一般属性的结论 小结 例题 例.关于函数y=3x²的性质表述正确的一项是( ) A.无论x为任何实数，y的值总为正 B.当x值增大时，y的值也增大 C.它的图象关于y轴对称 D.它的图象在第一、三象限内 例.已知点(-1，y₁)，(2，y₂)，(-3，y₃)都在函数y=x²的图象上，则( ) A.y₁<y₂<y₃ B.y₁<y₃<y₂ C.y₃<y₂<y₁ D.y₂<y₁<y₃ 例 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= （c＞0） （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2. 注意自变量的范围 函数y=ax2的实际应用 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为 cm， ∴S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S ≥ 4cm2，即 ≥4，解得C ≥ 8 . ，或c≤-8(舍去）. 因此C ≥ 8cm. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． < 变式题 已知二次函数y＝2x2. (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形， 且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 二次函数与一次函数性质的综合应用 如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）. （1）求直线AB的函数解析式； （2）求抛物线的函数解析式； （3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标. y=ax+b （2，2） （4，0） D D 拓展延伸 * * 解：（1）设直线表达式