2.1 一元二次方程 课件 2023——2024学年浙教版数学八年级下册

第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 复习导入 方程 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 方程：含有未知数的等式. 我们学过的方程： ①一元一次方程： 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程. ②二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的等式方程. ③分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 复习导入 2.下列式子哪些是方程？如果是的话是什么方程？ 12+6=18 2x+13 5x+16=22 x+3y=18 x-5<108 等式 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 探究新知 1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据题意得：200×150-3x2 ＝200×150×． 整理得：x2 - 2500＝0．① 要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系. 等量关系： 矩形的面积-圆的面积=矩形的面积×. 含有一个未知数，未知数的最高次数为2 探究新知 2.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 等量关系： 两年后汽车拥有量=前年汽车拥有量×（1 +年平均增长率）2. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 根据等量关系， 列出方程：75 （1 + x ）2 = 108. 化简， 整理得：25x2 + 50x - 11 ＝ 0．② 含有一个未知数，未知数的最高次数为2 探究新知 方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2 - 2500＝0．① 25x2 + 50x - 11 ＝ 0．② 共同点： ①都是整式方程，方程的右边为0； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2；即方程的左边只有一个二次项. 具有这样特点的方程叫什么方程呢？ 一元二次方程的概念 一元二次方程 如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程. 同样，我们可以将一元二次方程定义为：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程. 一元：指只含有一个未知数 二次：未知数的最高次数为2 方程：等式方程 知识要点 知识要点 一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0） 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 探究新知 想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 结论：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 典例精析 例2 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x （1 – x ） + 10 = 2（ x + 2） 分析：根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断. 解：去括号， 得：3x - 3x2 + 10 = 2x + 4. 移项， 合并同类项， 得：- 3x2 + x + 6 = 0， 这是一元二次方程， 其中二次项系数是-3， 一次项系数是1， 常数项是6. 典例精析 解：可以，此时二次项系数是3，一次项系数是-1， 常数项是-6. 思考： - 3x2 + x + 6 = 0可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？ 解：去括号， 得：5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4. 移项， 合并同类项， 得：5x + 11 = 0， 这是一元一次方程， 不是一元二次方程. （2） 5x （ x + 1） + 7 = 5x2 - 4. 知识要点 1.要先化成 ax²+bx+c=0 的一般形式； 2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形； 3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项； 4.写系数时，要带上前面的符号. 求一元二次方程的