第2章 一元二次方程（知识清单+典型例题与变式练习）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第2章 一元二次方程（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+2x+3＝x（x+1） C．2x+3y＝6 D．x2﹣2x+3＝0 【解答】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．由原方程变形得到：x+3＝0，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程2x+3y＝6中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式】（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， 解得m＝1． 故选：C． 考点2 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6， 移项得，x2﹣2x+6＝0， 所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6． 故选：D． 【变式】（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0， 故选：D． 考点3 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 【例3】（2023•陇西县校级模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3． 故选：C． 【变式】（2023春•吴兴区期中）若m是关于x的方程x2﹣2023x﹣1＝0的根，则（m2﹣2023m+3）•（m2﹣2023m+4）的值为（　　） A．16 B．12 C．20 D．30 【解答】解：根据题意得m2﹣2023m﹣1＝0， 所以m2﹣2023m＝1， 所以（m2﹣2023m+3）•（m2﹣2023m+4）＝（1+3）•（1+4）＝20． 故选：C． 考点4 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个