1.1.1空间向量及其线性运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 学习目标 （1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养； （2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示； （3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律； （4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养. 人教A版2019高中数学选择性必修第一册 空间向量 空间向量的基本概念（重点） 空间向量的线性运算（重点） 1 2 共线、共面定理 3 新课导入 导 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。 类比 问题导学（5分钟） 阅读课本2-5页，并思考下列问题 1.空间向量及相关概念有哪些？ 2.空间向量的线性运算有哪些？ 空间向量的概念 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景. 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内. 平面向量 空间向量 类比的方法 平面向量 空间向量的概念 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. A B a O C A B 空间向量的概念 O C A B 零向量：规定长度为0的向量叫零向量， 记为0. 单位向量：模为1的向量叫单位向量. 相反向量：与向量a长度相等而方向相 反的向量，称为a的相反向 量，记为-a. 特殊向量 空间向量的概念 共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平 行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0//a a b c 空间向量的概念 相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 如图，已知空间向量a，b，以任意点O为起点，作向量OA=a，OB=b，我们就可以把它们平移到同一个平面a内. a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们. 思考：空间中任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面内？ 问题 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？ 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 空间向量的线性运算 加法   减法 数乘   空间向量的运算（同平面向量） 当λ＝0时，λa＝0 想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？ 没有影响，向量起点可以平移到任何位置. 空间向量的运算律 运算律 交换律：＋＝＋； 结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)； 分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.   （3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况： ①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+. 由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽. 所以＝，∠＝∠. 因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+. ②当<0时，可类似证明（+）＝+. 思考　怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 思考　由数乘λa＝0，可否得出λ＝0? 不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 空间向量的线性运算 例： 共线向量 【规定】：零向量与任意向量共线. 共线定理 O A B P a O A B P a 共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. O A 注意：空间任意两个向量是共面的，但