第二章 等式与不等式（5大知识归纳+9大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式 （知识归纳+题型突破） 1.等式与不等式的性质：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2.基本不等式：掌握基本不等式.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题； 3. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式. 1、实数大小的比较 ；；； 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. 也即“作差法”. “作差法”比较大小的一般步骤为：（1）作差；（2）变形（通分、分解因式、配方等）；（3）判号. 2、等式与不等式的基本性质 （1）等式的基本性质 传递性　如果，且，那么； 加法性质　如果，，那么； 乘法性质　如果，，那么； 拓展：乘法公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （2）不等式的基本性质 传递性　如果，且，那么； 加法性质　如果，，那么； 乘法性质　如果，，那么；如果，，那么； 推论1. ； 推论2. ； 推论3. ； 推论4. ； 推论5. ； 推论6. ； 推论7. ； 3、一元二次方程的根与系数关系 设两根为、，则，. 4. 解不等式 （1）一元一次不等式（组） 【方法归纳】一元一次不等式组解集的确定方法；设a<b，则： （1）关于x的不等式组的解集是(b，＋∞)，即“同大取大”，如图（1）； （2）关于x的不等式组的解集是(－∞，a)，即“同小取小”，如图（2）； （3）关于x的不等式组的解集是(a，b)，即“大小小大中间找”，如图（3）； （4）关于x的不等式组无解，即“大大小小无法找”，如图（4）； （2）一元二次不等式（下表中均假设，而Δ） Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不等的实根x1，x2且x1<x2 有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2 无实根 ax2＋bx＋c >0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2} 【总结】 1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的联系： 一元二次方程的两个根即为一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标. 2、解一元二次不等式的步骤： （1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； （2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； （3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式 . 记忆口诀： 大于取两边，小于取中间（前提）. （3）分式不等式 同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式） ①同解； ②与不等式组同解. （4）含绝对值不等式 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . 5. 基本不等式 （1）平均值不等式 对任意正数和，. 常用变形： （1）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【积定和最小】 （2）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【和定积最大】 【提醒】 基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等； 如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值； 若（常数），当且仅当时，有最大值. （2）三角不等式 ，当且仅当时等号成立. 题型一：等式与不等式的性质 例1．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（       ） A． B． C． D． 例2．（2022·上海金山·高一期末）若等式恒成立，则常数a与b的和为______. 【巩固练习】 1．（2019·上海交大附中高一期末）设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2021秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知命题：①若，则；②若，则；③若且，则.其中真命题的序号是 ． 3．（2020·上海·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，则当且仅当a，b满足 ____________ .时，成立. 题型二：应用不等式的性质求范围 例1．（2022·上海·模拟预测），，则的最小值是___________. 【巩固练习】 1. （2023·上海·校考）已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________． 2. （2023·上海·校考）若实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________． 题型三：比较大小 例1．（2022秋·上海松江·