2.3 基本不等式及其应用（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.3 基本不等式及其应用 2.3.1平均值不等式及其应用 在前两节中，我们学习了一些不等式的性质求解和证明．在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式. 基本不等式 对于正数a、b,称 是a,b的算术平均值，并称 是a、b的几何平均值.当a、b分别表示对同一个量进行两次测量所得a+b的数值时，其算术平均值 可以理解为这两次测量值的平均.当a、b分别表示一个矩形的两边边长时，其几何平均值 可以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长. 定理(平均值不等式) 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b,有 且等号当且仅当a=b时成立. 下面的不等式是经典的平均值不等式： 平均值不等式 证明 对于正数a、b,要证明定理所述之平均值不等式， 只要证明 a+b≥2√ab, 即 a+b-2√ab≥0. 由 a+b-2√ab=(√a-√b)², 上式显然成立，且只有当a=b时，原不等式两边才相等. 代数证明   A B D C E       如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形，得出平均值不等式的几何解释吗? 几何意义 证明 因为x>0,由平均值不等式，得 且等号只有当 ,即x²=1时才成立. 由于x>0,所以x=1. 因此，当且仅当x=1时， 例2 设ab>0,证明 ,并指出等号成立的条件. 例1 设x>0,证明 ,并指出等号成立条件. 证明 因为ab>0,所以a、b同号，因而 由平均值不等式，得 且等号当且仅当 ,即a=b时才成立. 除了平均值不等式，还有一些常用的不等式. 定理 对于任意的实数a、b,有 且等号当且仅当a=b时成立. 其他不等式 几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 _______ ________ 2 8 基本不等式与最值 已知x,y都是正数,则 (1)如果积xy等于定值P,那么当 　x＝y　⁠时,和x＋y有最小值 　2 ⁠; (2)如果和x＋y等于定值S,那么当 　x＝y　⁠时,积xy有最大值 　 ⁠. x＝y　 x＝y　 提醒　利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”: ①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备. 题型归纳 [方法技巧] 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑．在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能．　 题型二　利用基本不等式求最值　 【学透用活】 (1)利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适当地变形． (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质． [方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 题型三　利用基本不等式证明不等式　 【学透用活】 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式．若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件； 若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要注意等号能否取到． [方法技巧] 1．可利用基本不等式证明题目的类型 所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明． 2．利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立． (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用． (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．　　 【对点练清】 1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 2．要制作一个体积为9 m3，高为1 m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，问：该容器的长为多少时，容器的总造价最低？总造价最低为多少元？ 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 题型一　利用基本不等式比较大小　 【学透用活】 [典例1]　若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是 (　　) A．a2＋b2　　 B．2　　 C．2ab　　 D．a＋b [答案]　D [解析]　法一：∵0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b， ∴a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，∴a＋b＞a2＋b2，故选D. 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝， 2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. 解析：因为a＞2，所以a－2＞0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2 ＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n. 答案：A　 【对点练清】 1．已知m＝a＋(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 答案：≤ 2．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． [典例2]　(1)已知x＞2，求x＋的最小值； (2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值； (3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． [解]　(1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. (2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，∴x(1－2x)的最大值为. (3)∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)· ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. ∴x＋2y的最小值为18. 【对点练清】 1．[变条件]若把本例(1)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求x＋的最大值． 解：因为x＜2，所以2－x＞0， 所以x＋＝－＋2≤－2 ＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)， 即x＝0时，等号成立．故x＋的最大值为－2. 2．[变条件]把本例(3)中“＋＝1”改为“＋＝3”，其他条件不变，求x＋2y的最小值． 解：∵x＞0，y＞0，＋＝3，∴＝1. ∴x＋2y＝(x＋2y)·＝≥＝6. ∴x＋2y的最小值为6. [典例3]　已知a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. [证明]　法一：∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 法二：∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【对点练清】 1．已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：∵a，b，c＞0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 题型四　基本不等式的实际应用　 【学透用活】 [典例4]　某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为s＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？ [解]　设楼房每平方米的平均综合费用为y元， 依题意，得y＝s＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N*)．因为y＝50x＋＋3 000≥2× ＋3 000＝5 000，当且仅当50x＝，即x＝20时取等号， 所以当x＝20时，y取得最小值5 000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元． [方法技巧] 利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是通过相关的关系建立关系式，将实际问题转化为最大值或最小值问题，在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a＞0，b＞0，x＞0)上靠拢． 提醒：注意使实际问题有意义的变量的取值范围．　　 答案：5　8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 解：设该长方体容器的长为x m，则宽为 m， 设该容器的总造价为y元， 则y＝9×10＋2×1×5＋100＝190＋10，因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取“＝”，所以ymin＝250. 故该容器的长为3米时，容器的总造价最低，总造价最低为250元． $$