第二章 等式与不等式（3大易错与3大拓展）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第2章 等式与不等式单元复习提升 （易错与拓展） 易错点1：应用不等式乘法性质未注意符号出错 【例1】对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ） A．若，，则； B．若，则； C．若，则； D．若，，则. 针对训练1.1 （2021·上海市张堰中学高一期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 针对训练1.2 （2021·上海市桃浦中学高一期中）下列四个命题中，为真命题的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则 易错点2：多次运用不等式性质而致错 【例2】已知，，求的取值范围. 针对训练2.1已知实数､满足，，则的取值范围为___________. 针对训练2.2 已知，，则的取值范围是          ． 易错点3：忽视分式不等式中的分母不能为零致错 【例3】不等式≤1的解集是________． 针对训练3.1 不等式的解集是___________. 针对训练3.2 不等式的解集为 ． 易错点4：解含参不等式未分类讨论而致错 【例4】已知集合，集合，命题：， 命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 针对训练4.1解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 针对训练4.2 解关于的不等式． 针对训练4.3 已知关于的不等式． 若不等式的解集为，求实数的值； 若，求不等式的解集． 易错点5：未分类讨论一元二次不等式中的二次项系数致错 【例3】若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D． 针对训练5.1已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是          ． 针对训练5.2 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是          ． 针对训练5.3 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是          ． 易错点6：应用基本不等式求最值时，未满足不等式成立的三个条件 【例6】当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 针对训练6.1 已知，则的最小值为          ． 针对训练6.2 若正数满足，则的最小值是           针对训练6.3 函数的最小值等于          ． 拓展1 一元二次方程根的分布 （1）方程在上有实数解，首先要讨论最高次项系数是否为0，其次，若，则一定有． （2）方程在上有两根充要条件是；在上有两根的充要条件是；在和上各有一根的充要条件分别是： . 若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．当然也可以利用参变分离结合函数图像来做. 【例1】 已知关于的方程，求： 方程有两个不同正根的充要条件； 方程至少有一正根的充要条件． 针对训练1.1 若方程在上仅有一个实根，则的取值范围是          ． 针对训练1.2 如果关于的方程至少有一个正根，那么实数的取值范围是(    ) A. -2a2 B. < a2 C. -< a2 D. -a2 针对训练1.3方程在区间上有一根，求实数的取值范围． 针对训练1.3 关于的方程的两根为，，且满足，则的取值范围是          ． 拓展2 一元高次不等式 一元高次不等式的解法——序轴标根法，其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集. 若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）： 【例2】 不等式的解集为_________ ． 针对训练2.1 解下列关于的不等式． ； ． 针对训练2.2 定义区间，，，的长度均为，若满足的构成的区间的长度之和为，则实数的不可能取值是(    ) A. B. C. D. 拓展3 二次不等式的恒成立、能成立问题 （1）恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上； 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上. 补充：不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法. （2）能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上； 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上. （3）恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等