专题01 有理数【知识梳理+解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题01 有理数 一．正数与负数的定义 1．大于0的数叫做正数． 2．在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数． 3．0既不是正数，也不是负数． 二．有理数的相关概念 1．整数和分数统称有理数． 2．整数包括正整数、0、负整数． 3．分数包括正分数、负分数． 注意： 有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不能转化为分数，故无限不循环小数不是有理数． 引入负数以后，小学学过的奇数和偶数的范围也扩大了，奇数和偶数也可以为负． 分数和小数的区别：小数可分为有限小数和无限小数两种，而无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数和无限循环小数都可以表示为分数的形式，因此分数只是小数的一部分，分数和小数是两个不同的概念． 三．有理数的分类 按有理数的定义进行分类： 按有理数的性质符号进行分类： 四．数轴 1．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 注意： ①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线． ②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度． ③注意“规定”是指原点的位置、正方向的选取、单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的，解决具体问题时，可以根据情况灵活选定原点的位置，正方向的朝向，单位长度的大小． 2．数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，零用原点表示． 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示无限不循环小数． 五．相反数 1．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数．例如：2是的相反数，a和互为相反数． 2．0的相反数是0． 3．相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数． 注意： ①数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等． ②数轴上与原点的距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点左右两边，表示和a，数轴上表示数0的点到原点的距离为0． 4．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0． 5．相反数的特征： 若a与b互为相反数，则（或）． 若（或），则a与b互为相反数． 6．求一个数的相反数的方法 求一个具体数的相反数时，改变这个数前面的符号，其他部分不改变，即可得到这个数的相反数． 求一个字母或一个式子的相反数时，也只需在这个字母或这个式子的整体前面加上“-”号，如a的相反数为“”，的相反数为，这里的括号是必须要加的． 六．绝对值 1．绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”，读作“a的绝对值”．绝对值不可能为负数． 2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 或或 注意： ①任何数都有绝对值，且只有一个，无论a取何有理数，都有，即任何一个有理数的绝对值都是非负数．绝对值最小的数是0． ②当时，a取正数和0；当时，a取负数和0． 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数． 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大． 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 3．绝对值非负性的应用：若几个非负数的和为零，则这几个数同时为零． 即若，则有，，，…，所以，，，…． 七．有理数的大小比较 1．利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的有理数，左边的数小于右边的数． 2．根据正数、负数、0在数轴上位置的不同比较两个数的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 八．有理数的加法运算 1．有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． 一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数的加法运算律： 加法交换律：． 加法结合律：． 注意： 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”． ②符号相同的数先相加——“同号结合法”． ③分母相同（或分母成倍数易化成同分母）的数先相加——“同分母结合法”． ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”． ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”． 九．有理数的减法运算 1．有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即． 2．有理数加减混合运算的方法： 运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，统一成为加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，然后省略加号和括号； 运用加法交换律、加法结合律