第21讲 函数的奇偶性7大基础常考考点-2023-2024学年高一数学考点方法题型总结（人教A版2019必修第一册）

第21讲 函数的奇偶性7大基础常考考点 【考点分析】 考点一：函数的奇偶性的定义 对于函数的定义域内任意一个，都满足： ① 是偶函数； ②奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 考点二：函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性：是偶函数； 是奇函数； ④等价性：； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 考点三：函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ②，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括，则． ④若函数是偶函数，则． ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． ⑥若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数． 考点四：函数的奇偶性的判断方法 利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称； ②数量关系哪个成立； 题型一：函数奇偶性的判断 此类题目解决思路：①注意函数的定义域必须关于原点对称； ②用定义判断：若，则为奇函数；若，则为偶函数； ③奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 【精选例题】 【例1】（多选题）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列函数中，为偶函数的是（        ） A．= B．= C．=+ D．=x+ 【例3】下列四个函数中是偶函数且在上是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【例4】关于函数，描述不正确的是（       ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称 【例5】（多选题）函数，下列结论正确是（    ） A．图象关于y轴对称 B．在[0，+）上单调递减 C．的值域为 D．有最大值 【例6】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例7】已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（ ） A. 奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数 3.（多选题）下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（      ） A． B． C． D． 4.已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 A. B. C. D. 5.（多选题）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 6.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7.若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：抽象函数的奇偶性判断 解题思路：此类题目通过赋值法，找出和的关系即可 【精选例题】 【例1】已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（    ） A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数 C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数 【例2】（多选题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ） A． B． C．是奇函数 D．若，则 【例3】（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数． （2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数． 【例4】若对一切实数，，都有. （1）求； （2）判断的奇偶性