专题1-3 空间向量综合：斜棱柱、不规则几何体建系计算（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 1.3 空间向量综合：斜棱柱、不规则几何体建系计算 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 斜棱柱垂面型建系 · 【题型二】 斜棱柱垂线型建系 · 【题型三】 棱锥垂面型建系 · 【题型四】 斜面棱锥型建系 · 【题型五】 平行六面体型建系 · 【题型六】 等角射影角平分线性建系 · 【题型七】 台体建系 · 【题型八】 不规则几何体型建系 · 【题型九】 翻折型建系 · 【题型十】 无垂面垂线型建系 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】斜棱柱垂面型建系 【典例分析】 1.（2023·江西·校联考模拟预测）如图，三棱柱中，，D是AC的中点，. (1)证明：⊥平面； (2)若点到平面的距离是棱长AB的，求二面角的余弦值. 2.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【提分秘籍】 斜棱柱垂面型，从以下几方面思考： 1. 垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的Z轴 2. 垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系。 【变式演练】 1.．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.      (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 2.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．    (1)求四面体的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型二】斜棱柱垂线法建系 【典例分析】 1.（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 2.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.    (1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离. 【提分秘籍】 斜棱柱垂线型建系 如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维： 1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 【变式演练】 1.（2023·广东韶关·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.    (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 2.（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形． (1)求证：； (2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离． 【题型三】 棱锥垂面型建系 【典例分析】 1.（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 【提分秘籍】 棱锥垂面型建系 棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴。 如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度。z轴可以选择合适的底面垂线组处 【变式演练】 （2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．    (1)证明：平面平面． (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值． 【题型四】斜面棱锥型建系 【典例分析】 （2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【提分秘籍】 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高。再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系。 【变式演练】 （2023·全国·模拟预测）四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，. (1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明； (2)求二面角A-EB-C的余弦值. 【题型五】 平行六面体型建系 【典例分析】 （2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线