二次函数专题：对称轴的六种考点2023-2024学年人教版九年级数学上册

二次函数专题：【对称轴】的6种考点 【专题解读】 二次函数是初中数学的重难点部分，它的每个单项考点都能灵活出现很多题型，更不用说二次函数与其它知识点结合了；所以掌握二次函数的考点，学会归纳总结考向，对解关于二次函数的题目有很大的帮助。 二次函数中最重要的考点之一就是对称轴了。因为抛物线本身的形状就是一个轴对称图形，所以围绕它的对称轴能够对抛物线有很好的了解和出题；初中数学老师有一句话“数学老师一回头，二次函数对称轴”，利用对称轴的点能够展开不同的题型，只要和抛物线有关的题型，基本上要观察对称轴的特征，所以理解和掌握对称轴的知识点就能够在解题中起到高效、高值的作用。 考点1、利用定义和公式求抛物线的“对称轴” 【利用对称轴的公式：或顶点式的顶点横坐标】 1、 求二次函数的对称轴？ 2、 求二次函数的对称轴？ 【小结】 ①一定要牢记对称轴的公式；②顶点公式的顶点的求法； 【利用两个“y”相等的横坐标点——中点公式】 1、 已知二次函数过A（-2,5）和B（6,5），求此二次函数的对称轴？ 2、 已知抛物线过（3，y）和（-1，y），求此抛物线的对称轴？ 【小结】 不论在选填还是解答题中，如果出现二次函数的点的坐标，要注意观察点的特征，如果两个点的坐标的“y”相等，那么这两个点就是关于对称轴对称，利用动点公式：，求出对称轴的位置（顶点的横坐标）。 考点2、利用对称轴求抛物线的“顶点横坐标” 【①直接利用顶点横坐标公式（对称轴的公式）求顶点横坐标】 【②利用顶点式得顶点横坐标】 【③利用“y”相等的点求顶点横坐标】 【小结】 考点1和考点2是互相联系的，顶点横坐标也就是对称轴所在的直线。 考点3、利用对称轴求抛物线的“增减性” 【根据开口方向确定对称轴左右两侧的增减性】 ①开口向上，函数增减性的表述： 在对称轴的左侧即，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧即，y随x的增大而增大。 ②开口向下，函数增减性的表述： 在对称轴的左侧即，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧即，y随x的增大而减小。 例1、表述的增减性。 例2、 表述的增减性 例3、 表述 例4、 已知，当x＞1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围。 例5、 已知（a＜0），当x＞m时，y随x的增大而减小，求m的取值范围。 【小结】 ①牢记对称轴公式； ②利用对称轴表述增减性，可以减少辅助画图的时间，提高做题的速度。 ③自己可以适当地在脑海中形成函数的大概图形。 考点4、利用对称轴求多个函数值“y”的大小关系 【开口向上，离对称轴越近，y值越小】 【开口向下，离对称轴越近，y值越大】 【如果两个点到对称轴的距离相等，那么这两个点关于对称轴对称，y值相等】 例1、 二次函数，在抛物线上有A（-1，y1），B（4，y2），比较y1、y2的大小。 例2、 二次函数，抛物线上有两点A（m，y1），B（4，y2），已知y1＞y2，求m的取值范围。 例3、二次函数，A（x1，y1），B（x2、y2）在抛物线上，若dx表示一个点的x到对称轴的距离，已知dA大于dB，比较y1与y2的大小。 例4、二次函数，A（-1，y1）B（3，y2）在函数图像上，比较y1、y2大小。 【在x的取值范围内求函数值，先判断对称轴（顶点横坐标）有没有在x的范围内，如果在，顶点y就是最值；如果不在，就要分类讨论x的范围要在对称轴的两侧，分别求最值。】 例1、二次函数，A、B、C在抛物线上，A（-1,y1）B（2，y2）C（3，y3），比较y1、y2、y3大小。 例2、，在的范围内，求函数的最大值与最小值。 考点5、利用对称轴求系数“a、b”的符号 【直接利用开口方向求a的符号，再利用对称轴在y轴两侧的位置“左同右异”求b的符号】 例1、 已知（a＞0），对称轴y轴右侧，求b的符号？对称轴在y轴左侧呢？若a＜0呢？ 例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0 例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 考点6、利用对称轴求系数“a、b”的代数式关系 【直接利用公式，观察对称轴的值，带入求得a、b的关系式】 例1、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求a、b的关系式 例2、 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-2，求a，b关系式。 【如果得到a、b关系式，可以得到对称轴】 a+b=0 对称轴：直线x= a-b