专题06 指数与指数函数（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题06 指数与指数函数 重难点一 根式与分数指数幂 (1)、性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ (2)、规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (3)、有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 重难点二 指数函数及其性质 (1)、概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)、指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 重难点突破1 指数与指数运算 例1．（1）、（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（    ） A． B．   C． D． （2）、（2023秋·高一课时练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·全国·高一课时练习（理））下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】、（2023秋·高一课时练习）的值是 例2、（2023·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2). 【变式训练2-1】、（2022秋·新疆喀什·高一校考期中）计算下列各式的值． (1) (2) 重难点突破2 指数函数的图像与性质 例3．（1）、（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   （2）、（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））函数的图象恒过定点__________ 【变式训练3-2】、（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 重难点突破3 指数函数的单调性与最值（比较大小） 例4.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【变式训练4-1】、（2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 重难点突破4 指数型复合函数的应用 例5、（1）、（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． （2）、（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式训练5-1】、（2023秋·江西·高二校联考开学考试）函数的单调递增区间为 . 【变式训练5-2】、（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______． 重难点突破4 指数型复合函数的应用 例6.（2023秋·高一课前预习）已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0，3]上的值域． 【变式训练6-1】、（2023·全国·高一假期作业）函数是偶函数． (1)试确定的值及此时的函数解析式； (2)证明函数在区间上是减函数； (3)当时，求函数的值域． 例7、（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知函数 （）. （1）若，求函数的值域； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 【变式训练7-1】、（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 重难点突破4 指数与指数函数的应用 例8．（2022·陕西渭南·高二期末（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，