第一章勾股定理培优专题2023-2024学年北师大版八年级上册数学

第一章勾股定理培优专题 1. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2＝64：②x﹣y＝3；③2xy＝55；④x+y＝11．其中正确的是______________ 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．148 B．100 C．196 D．144 3.如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 4.如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（　　） A．S1+2S3 B．S3S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2 5.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN.求: （1）线段CE的长． （2）线段CN的长. （3）连接DE，在图中找出一条与DE相等的线段（除AE 外），并说明理由. （4）直接写出以MN为边长正方形面积 6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的平方； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 7.用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，运用乘法公式求证：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，求S2的值． 8．一、阅读理解： 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c； （1）若∠C为直角，则a2+b2＝c2； （2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2 证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD 在△ABD中：AD2＝AB2﹣BD2 在△ACD中：AD2＝AC2﹣CD2 AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2 c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2 ∴a2+b2﹣c2＝2a•CD ∵a＞0，CD＞0 ∴a2+b2﹣c2＞0，所以：a2+b2＞c2 （3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系． 二、探究问题：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围． 9．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC＝a，AC＝b，AB＝c． （1）求AE和BD的长； （2）若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，求证：S＝AE•BD． 10．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论． 11．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角