利用导数研究函数不等式恒成立问题讲义-2024届高三数学一轮复习

第五节 利用导数研究函数不等式恒成立问题 考点梳理 至少含有一个参变量的函数不等式恒（能）成立，求参数范围问题，一直以来是高考的热点和难点.该题型灵活多变,综合性强，常作为压轴题显现. 其常见解法主要有：分类讨论法（或直接求最值法）、分离参数法和构造函数法(作差法构造或同构法构造）. 例题分析 方法一、分类讨论法（或直接求最值法）：在函数不等式恒（能）成立问题中，有些是不能分离参数的.有些虽能分离参数，但分离后的函数不存在最值或端点值.这时我们只能放弃分离参数，采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解. 例1、若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题看上去可以分离参数，但分离参数后的函数在区间上无最值，也无端点值，故只能用分类讨论法求解. 【解析】令，得，. （1）当时，，在上单调递减，故，不符合题意； （2）当时，令，可得，若，则，单调递减；若，则，单调递增；又由，所以存在，使得，不符合题意； （3）当时，对于，恒成立，且只有当时导数为零，故在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意，所以实数的取值范围为． 点睛：大多数恒成立问题，分离后的函数不存在最值或端点值.这时我们采用直接求导、然后对变量或参变量分类讨论，利用导数研究其单调性、极值和最值进行求解. 例2、（2023·黑龙江大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【答案】C 【分析】根据题中不等式恒成立先得到，的关系式，转化为，构造函数，求出其最小值即为的最小值. 【详解】设，，由题，. （1）当时，，函数在上单调递增，且当时，，故此时，在不能恒成立. （2）当时，若，，函数在上单调递增，若，，函数在上单调递减，所以在时取得最大值， 由题意不等式在恒成立，只需恒成立， 即，所以，（该不等式左右两边都含有，可以同时变化，不能理解为恒成立），设，则只需，因为 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，所以的最小值为，故选：C 点睛：尝试在中直接分类讨论，分理出能否求解？可以发现，此路不通.可见函数与导数综合问题的复杂性和解法的多样性.我们在平时的训练中，一定要放开思路，勇于探索，才能取得较好的效果. 例3、（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数，. （1）若，求的最值； （2）若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）的定义域为，，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增 又，.所以， （2）由题意知：只需，， 由（1）知在单调递减，单调递增， ①若，则在单减，则只需， 即， 记，， 因为，所以在减，增， 而，，所以在恒成立， 又因为，所以对任意恒成立. ②若，，只需，即，解得，综上，. 例4、（2023秋·宁夏银川一中高三校考）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 【详解】（1）当时，，， 令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，， 所以，而，所以. （2）令. 则. 当时，因为，所以，所以在上单调递增，又因为. 所以关于的不等式不能恒成立； 当时，. 令，得，所以当时，； 当时，.因此函数在上单调递增，在上单调递减. 故函数的最大值为. 令，因为， 又因为在上单调递减，所以当时，. 所以整数的最小值为3. 例5、（2020年全国新高考Ⅰ卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在隐零点，使得，得到，利用隐零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为． （2）方法一：（分类讨论法） ,（）， 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,故时， ；时， ∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，，， 且当时，当时， 因此 >1,∴∴恒成立； 当时， ∴不恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 方法二：（同构法） 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增；当时，单调递