2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1　直线与圆的位置关系（第1课时） （教学设计） 1、 课时教学内容 直线与圆的位置关系 2、 课时教学目标 1．经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系. 2．能根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线. 3．根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系. 3、 教学重点、难点 1.重点：会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 2.难点：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 【实际情境】（展示日出的动图）古诗里描写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象。大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。 问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？ 1．点与圆的位置关系有哪几种？ 2．观察下列三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？ 【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。 【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的. 师生活动： （1）学生经过观察思考，作出解答. （2）教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法. 设计意图：让学生回顾初中直线与圆三种位置关系的定义和直观的判断方法，此法结合坐标运算就是高中的几何法,侧重于“形”的方面. 问题2：（呈现直线与圆的三种位置关系的图象）对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？ 【预设的答案】通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。 问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？ 【预设的答案】比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当d<r时直线与圆相交，当d=r时直线与圆相切，当d>r时直线与圆相离。 问题4：这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究。 圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r. (1)d与r的大小有什么关系？ (2)你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ ①直线和圆相交⇔ d ＜ r； ②直线和圆相切⇔ d ＝ r； ③直线和圆相离⇔ d ＞ r. 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； (2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r 的关系来判断． 【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。 环节二 观察分析，感知概念 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系．下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系． 我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 思考 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆方程判断它们之间的位置关系？ 下面，我们通过具体例子进行研究． 环节三 抽象概括，形成概念 问题5：下面从特例入手用方程研究直线与圆的位置关系，你能尝试解决下面的问题吗？ 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 分析：思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 师生活动： （1）学生先独立思考，讨论交流后让学生采用先写再讲的形式展示不同解法. （2）教师在学生讨论时参与讨论并做个别辅导与答疑. （3）教师引导学生对不同解法特点进行总结： 解法1： 联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 把，分别代入方程①，得，．