精品解析：北京市东直门中学2024届高三上学期开学考试数学试题

2023～2024学年高三开学测 数学 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正方体棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题： ①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线； ②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线； ③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，项的系数为_________． 12. 在中，，且，则_________，________． 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则． ①双曲线H的离心率为________； ②若，，CE交AB于点P，则________． 四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在长方体中，侧面是正方形，且，点E为BC的中点，点F在直线上． （1）若平面，求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17 已知，其中． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的单调递增区间． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 （1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； （2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 20. 已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上）