2.1 圆的方程（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1 圆的方程 一、圆的标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、基本要素：确定一个圆的基本要素是圆心和半径 3、圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 二、圆的标准方程的两种求法 1、几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标半径，进而得到圆的标准方程。 2、待定系数法：由三个独立的条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程，它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设：设所求圆的方程为； ②列：由已知条件，建立关于的方程组； ③解：解方程组，求出； ④代：将代入所设方程，得所求圆的方程。 三、点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 四、圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 五、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程. （2）根据已知条件，建立关于或的方程组. （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 题型一 圆的标准方程 【例1】（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为 ． 【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）与圆同圆心且过点的圆的方程为 【变式1-2】（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为 ． 题型二 圆的一般方程 【例2】（2023秋·青海西宁·高二校联考期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ． 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）过三点、、的圆的圆心坐标为 . 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·高二课时练习）过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ． 【变式2-4】（2023秋·高二课时练习）已知直线与轴交于点，直线与交于点，点在轴的正半轴上，且，求外接圆的方程． 题型三 二元二次方程与圆的关系 【例3】（2023·全国·高二专题练习）（多选）下列方程不是圆的一般方程的有（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）“”是“方程表示圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）若表示圆，则实数的值为 . 【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）. A．，且 B．，且 C．，且， D．，且， 【变式3-4】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知曲线（ ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 题型四 点与圆的位置关系 【例4】（2023·全国·高二专题练习）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋·高二课时练习）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【变式4-2】（2023春·