专题2-2 基本不等式提高版十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

专题2-2基本不等式提高版十大题型汇总 题型1公式法 1 题型2多次使用均值不等式 2 题型3消元法 3 题型4多元均值不等式 4 题型5基本不等式与二次不等式结合 5 题型6换元法 6 题型7三角换元法 7 题型8万能k法 7 题型9因式分解法 8 题型10 不等式链 9 题型1公式法 【方法总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【例题1】（2022秋·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-1】1. （2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知，均为正数，且，则的最小值为 ． 【变式1-1】2. （2023春·湖南衡阳·高一衡阳市衡钢中学校考开学考试）已知正实数，满足，则的最小值是 . 【变式1-1】3. （2022·天津·高三专题练习）.已知实数，满足，则的最小值是 【变式1-1】4. （2022·全国·校联考一模）已知正实数满足且,则的最小值为 . 【变式1-1】5.（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .的最小值为 . 题型2多次使用均值不等式 【方法总结】 一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。 【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【变式2-1】1. （2023·全国·高一专题练习）设，则的最小值为 . 【变式2-1】2. （多选）（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）设，则当取最小值时，下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2020秋·广东·高二校联考阶段练习）已知，则当取得最小值时，n的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】4. （2022·全国·高三专题练习）是不同时为0的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】5. （2022·全国·高三专题练习）设且不等式恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．13 B．6 C．8 D．62. 【变式2-1】6. （2022·高一单元测试）已知，那么当代数式取最小值时，点的坐标为 【变式2-1】7.（2023·全国·高一专题练习）若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型3消元法 【方法总结】 如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解 【例题3】（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是 . 【变式3-1】1. （2017·北京·高三强基计划）已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-1】1. （2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】2. （2021秋·江苏·高一专题练习）已知ab，a，b∈（0，1），则的最小值为 A．4 B．.6 C． D． 【变式3-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式3-1】4. （2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知且，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4多元均值不等式 【例题4】（2020·北京·高三强基计划）设正实数x，y，z，w满足则名的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】1. （2023秋·高一单元测试）已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ． 【变式4-1】2. （2023·江苏·高三专题练习）设实数，，，满足，，则的取值范围是 ． 【变式4-1】3. （2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为 . 【变式4-1】4.