第一章 有理数培优（压轴）——绝对值篇 专项训练 2023—2024学年人教版数学七年级上册

有理数培优（压轴）——绝对值篇 一 分类学习 （一）“0+0=0”模型 1．若|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|＝0，求（x+1）（y﹣2）（z+3）的值． 2．已知|x﹣1|+|y﹣2|＝0，求x、y的值． （二）化简 1．如果＝﹣1，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 2．如果，那么的值是 　 　． 3．下列说法正确的有（　　） （1）有理数分为正有理数和负有理数 （2）如果|a|＝a，那么a＞0 （3）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数 （4）若ab＞0，则的值为3或﹣3 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.．下列五种说法：①若|a|＝|b|，那么a3＝b3；②若a+b+c＝0，则（a+b）2＝c2；③若关于x的方程2x﹣b＝0的解是x＝a，那么关于x的一元一次方程ax+b＝0的解是x＝﹣2；④若a+b＝0，那么关于x的方程ax+b＝0的解是x＝1；⑤若三个有理数a、b、c满足++＝﹣1，则++＝﹣1，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意得：a、b、c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a、b、c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：＝1+1+1＝3； （备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则＝1，（a≠0）） ②当a、b、c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0， 则：＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1， ∴的值为3或﹣1． （备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则＝﹣1，（b≠0）） 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值； （2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值． （三）计算化简 1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0． （2）化简：|a﹣c|+|b﹣c|+|b﹣a|﹣|a|﹣|a﹣c|． （四）绝对值的几何意义 1．我们知道，|a|是在数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步地，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离就可以表示为|a﹣b|．反过来，|a﹣b|也就表示A、B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若|x+5|＝2，求x的值． 解：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2． 文字语言：x的值为数轴上到表示﹣5的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言： ③答案：x的值为﹣7或﹣3． 通过以上学习，完成以下问题： （1）若|x+2|＝|x﹣3|，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示﹣2的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：　 　． （2）若|x+2|+|x﹣3|＝9，则x的值为 　 　． （3）代数式|x+2|+|x﹣3|的最小值为 　 　，此时x的取值范围是 　 　． （4）|x+2|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣2022|的最小值为 　 　． 2．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可表示为|a﹣b|． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 　 　；数轴上P、Q两点之间的距离为3，若点P表示的数是﹣2，则点Q表示的数是 　 　． （2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣4、3，那么A到B的距离是 　 　；A到C的距离 　 　．（用含绝对值的式子表示） （3）若|x﹣3|+|x+4|＝11，则x的值为