奥数：第二章 4.1 还原问题（讲义）-四年级上册数学人教版

4.1 还原问题 在我们的数学问题中，常会遇到这样的一个问题，题中描述了某个未知量，经过一系列的变化，最后变成另一个已知的数量，要我们去求最初的那个未知数的数值，像这样的问题，我们称之为还原问题。 解决还原问题的基本方法是：倒推法。从结果出发，一步一步地往前面推，直到最初的未知数。 导入：已知算式[(△+3)÷2-6]×2=24，则你能知道△是多少吗? 分析：若是要求△的值，则我们可以将△的运算顺序体现出来，然后再去进行倒推。画出运算顺序图。 画图提示：我们用长→来表示运算过程，在长→的上方表示出这个运算的方式(比如，是+3，÷2…)。 则，我们可以根据结果往回推导： C: B: A: △: 注意：在倒推的时候：原来是加的，退回去用减；原来是减的，退回去用加；原来是乘的，退回去用除；原来是除的，退回去用乘。 例题1：小丁在游玩时，遇到一位小神仙，于是就问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘10，恰好是2000岁。”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗? 分析：首先，我们根据题目的描述知道结果为2000且求的是最开始的年龄，而又知道变化的过程。所以这个题是一个还原问题，那么我们可以考虑用倒推还原的方法。可以画出示意图： 则：C: B: A: △: 答： 总结：当遇到倒推还原问题时，文字往往比较多，则我们通常是将其变化过程转化为示意图，这样能够使得复杂的文字语言转化为形象的图像语言，在计算时更加简洁。而倒推时，重点注意符号的变化。 练习: 1、小姚做了这样一道题：某数加上10，乘10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数。小朋友，你知道答案吗?帮助小姚把它求出来吧。 2、一个数缩小2倍，再缩小2倍，扩大3倍，最后减去2得118。求这个数。 3、大雄问小丸子：“你今年几岁?”小丸子回答：“用我的年龄减去2，乘2，减去2，再除以2，恰好等于5。”你能帮大雄算一下，小丸子今年多少岁吗? 例题2：小胖吃一堆面包。第一次吃了一半，觉得不够；第二次又吃了剩下的一半，觉得差不多了；第三次又吃了5个，觉得饱了。它发现还剩下5个，干脆又吃光了。这一堆面包有多少个 分析：已知到结果是小胖吃完了面包，那么面包结果是0个，求最初有多少面包，所以符合于倒退还原问题，并且我们还需要知道变化过程：“第一次吃了一半”，我们想要知道的是剩下的是多少，则吃了一半还剩下一半，所以我们可以直接用“÷2”来表示，但一定要清楚，这个是表示剩下的一半。画出示意图： 则：C: B: A: △: 答： 总结：在画示意图时，同学们需要特别注意的是：我们的A、B、C都表示的是剩下的，而题中告诉我们的是吃掉的，而不是剩下的，所以我们需要将吃掉的转化为剩下的。比如本题中提到的：吃了一半—则我们表示为剩下的另一半，用“÷2来表示。 练习 1、一块布，第一次剪去一半，第二次剪去余下的一半，第三次减去余下的2米还剩下20米。这块布原来有多长? 2、某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40米。甲、乙两地相距多少千米? 3、猪八戒化斋讨来一篮果子。吃了一半，觉得不够，又吃了剩下的一半，还觉得不够，又吃了剩下的一半，最后又偷偷吃了2个果子，觉得饱了，把剩下的给唐僧吃，孙悟空一看篮子里只剩下4个果子了。猪八戒一共吃了多少个果子? 4、食堂运来一桶色拉油，连桶重65千克，第一天用去一桶油的一半，第二天用去剩下的一半多10千克，这时还剩下5千克油。油桶重多少千克? 例题3：小韵卖梨第一次卖掉篮中的一半多1个，第二次又卖掉剩下的一半少1个，这时篮中还剩下10个。原来篮中有梨多少个？ 分析：本题跟上一个题的最大差别在于，例题2只表示一半，本题是“一半多1个”或者“一半少1个”，那么对于用掉一半，我们可以表示剩下的一半。那么对于用掉一半多1个或一半少1个，又怎么表示剩下的呢，我们可以画个线段图来理解： 由图可以知道：卖掉了一半多一个，则剩下一半少一个；而卖掉一半少一个，则剩下一半多一个。我们可以画出示意图： 则：C: B: A: △: 当然，我们如果熟练后，也可以将过程进行简化，表示为 则：A： △： 答： 总结：对于这一类倒推还原问题，特别注意，我们所表示的是剩余的数量，所以一定要将用掉的数量，转化为剩余的数量，具体转化，参看上面的线段图。上面两种示意图，都可使用，同学们在画图时，可自行选择，但需要注意第二种虽然过程简化了，但列式是综合算式，需要主要计算的准确性及括号问题。 练习 1、小罗买来一捆电线，第一天用去全长的一半多5米，第二天用去余下的一半少8米，第三天用去14米，最后还剩下10米。这捆电线原来有多少米? 2、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物