奥数：第二章 2.1 图形计数（讲义）-四年级上册数学人教版

图形计数 在几何中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,长方形个数等等。这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的。 而关于计数问题中,我们最重要的一点是要做到不重不漏,那么要做到不重不漏的,就必须要有一定的顺序,强调次序性。 一、数图形的基本类型 例题1:数一数下面图形有多少条线段? 分析:①首先,所谓的线段:两个端点之间的直线部分,我们称之为线段。所以在图形中,AB,AC,BC等等都是线段。②要将图形中的线段全部数出来,因为有时候会比较多,则我们需要有一定的次序性。 方法一:列举法,将图中的所有线段直接全部列出来。(按从短到长) 以A点为一个端点:有线段AB、AC、AD,共3条; 以B点为一个端点:有线段BC、BD,共2条; 思考一下:(BA算不算一条线段,需不需要算进去) 以C点为一个端点:有CD,共1条。 所以,图中共有3+2+1=6(条)。 这种方法,虽然比较简单,但对于若线段或者字母比较多时,我们做起来就会比较复杂,所以我们可以考虑第二种方法。 方法二:基本线段法。 基本线段:将相邻两个端点所构成的线段,我们称之为基本线段。 根据我们在线段上标注一下,我们会发现,整个图形有3条基本线段,那么单独的线段就有3条;然后将相邻的两条基本线段再组合(线段1、2组合,线段2、3组合),那么就会有2条;最后再让三条相邻的基本线段组合(线段1、2、3组合),就会有1条,最后共有3+2+1=6(条)。 总结:也就是说,我们只要数出有几条基本线段,直接从基本线段的条数开始倒着加,一直加到1为止。 练习: 1、数一数下列图形中有多少条线段? 2、数一数下列图形中有多少条线段? 3、数一数下列图形中有多少条线段? 4、数一数下列图形中有多少个长方形? 例题2:数一数下面图形1中有多少个角?图形2中有多少个三角形? 分析:所谓角:指的是由一个顶点引出的两条射线所构成的图形。那么对于图1来说,我们要数出有多少个角,依然可以根据我们例题1的方法,构造出基本的角出来,然后再进行组合即可。所以我们先将图形进行标注如下: 由标注可得:有3个基本角;再由1、2组合,2、3组合可得2个角;最后由1、2、3进行组合可得1个角。所以总共有3+2+1=6个角。 对比要数的三角形和角,我们发现,三角形其实就是将角的射线部分给封口了,所以数三角形与数角的方法一样,所以我们在图中进行了标注,有三个基本的三角形,然后进行组合可得,三角形的个数为3+2+1=6个。 总结:无论是数线段的条数,还是数角或三角形的个数,都是要数出基本图形的数量,然后再进行组合,在组合的时候,要注意按照顺序组合,保证做到数图形的时候不重复、不遗漏。 练习: 1、数一数下面图形中有多少个角? 2、数一数下列图形有多少个三角形? 3、数一数下列图形有多少个三角形? 二、分层数图形 分层数图形:图形有几层构成,遇到此类题时,我们可以考虑,先数出每一层有多少个,然后再数有多少层,将每层的个数乘层数即可。 例题3:数一数下列图形中有多少个长方形? 分析:这个图形中的长方形较多,在数图形时,可以很容易观察出,图形中间分了几层,所以可以考虑先把第一层的个数数出来,然后再看有多少层就可以了。 由第一层的图形,我们可以看出有6个基本的长方形,则总共有6+5+4+3+2+1=21个长方形,然后再数出层出就可以了。 数层数的时候,要特别注意,不要将其直接看成了3层,因为层与层之间还可以进行组合,所以我们依然可以将其看为3个基本层,然后(1、2组合;2、3组合)有2层,最后(1、2、3组合)有1层,所以总共有3+2+1=6层。 每层有21个,共有6层,所以总共就有21×6=126个长方形。 总结:根据上面分析,容易发现,在数有层数的长方形的时候,我们是将每一层的长方形个数数出来,然后再将层数数出来,最后将每层个数乘层数即可。特别提示:层数要数清楚,它是可以进行组合的。 拓展:数一数下面的图形中有多少个三角形? 分析:对于第一个图形,在数三角形个数的时候,依然按照先数每一层有多少个,再数层数,而此时的层数与长方形就不一样,其是不能够进行组合的,所以总共只有3层。或者同学们在看图时,也可以这样理解,我们先看第一层的三角形,然后看第二层的时候,可以将第1层的底边线段去掉,再数也可以,依次到最后一层,所以第一层有4+3+2+1=10个;则总共有10×3=30个。 对于第二个图形,与第一个图形进行对比,会发现,在中间分层的时候,不是“拦腰截断”,而是从一个顶点出发进行分层的,所以不能像上面那样直接分层,而应该先按分层数,此时有2层,共有:2×(3+2+1)=12个 然后再数下面的单独出来的,有1;1与2组合;1、2、3组合,共有3个。所以最后总共有:12