上海市交通大学附属中学2023-2024学年高三上学期开学考数学试卷

交大附中2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一.填空题 (本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知集合A={1,4,5},B={3,4},则AUB= 2.复数3+4i的平方根是 3.已知向量ā与b的夹角为120°，日=3，a+=13,则l= 已知F、F,是双曲线y=1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠FP5=90 则△FPF的面积为 5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S,=0,a=10,则an+Sn= 7.直线y=ax+b是曲线y=√x+1的切线，则a+b的最小值为 8.各项均为正数且公差不为0的等差数列{an}的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列 {凸，}的连续三项（顺序不变），设Sn= 1+1 +…+ 1,若对于任意neN, aaz aa; ananl S,≤恒成立，则a的最小值为 41 设f)=1+问子则使释不等式了心：小2吗，-皮立的实数的 取值范围是 10.如图，△ABC中，AC=4,BC=2,∠ACB为钝角，从、N是 3 边AB上的两个动点，且MN=I,若CM.CN的最小值为三，则 COS∠ACB= 11.三棱锥P-ABC中，己知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形，E为PC的中 点，若直线E与平面PC所成角的正弦值为V42 则PA的长为 12.设a、b是两个实数，且满足0≤a<b,直线1：y=kx+m和圆x2+y2=1交于两点 AB若对于任意的k∈[a,小，均存在正数m使得△0B的面积均不小于 ,则b-2a 4 的最大值为 二.选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13.已知x、y都是实数，命题p:x<3,命题g:x2-2x-3<0,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.下列说法正确的是() A.如果直线1不平行于平面，那么平面α不存在与1平行的直线 B.如果直线1∥平面C,平面a∥平面B,那么直线1∥平面B C.如果直线1与平面相交，平面∥平面B,那么直线1与平面B也相交 D.如果平面a⊥平面y,平面B⊥平面y,那么平面∥平面B 15.设函数y=∫(x)的定义域为R,若存在两个不等实数x、x2,使得 则称函数y=∫(x)具有性质P,那么下列函数： 2 ①y=x0:②y=:@y=K-小，具有性质P的函数的个数为() 0,x=0 A.0 B.1 C.2 D.3 16.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一 周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是() A.8,8.5 B.8,8 C.9,8 D.8,9 三.解答题（本大题共5题，满分78分） 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为棱PDPC的中点，求证： (1)MN∥平面PAB (2)AM⊥平面PCD. D 18.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,数列{bn}满足b=8,bn=64bn1· (1)证明{an}是等差数列： (2)是否存在常数a、b,使得对一切正整数n都有an=log。bn+b成立.若存在，求出a b的值：若不存在，说明理由. 19.如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇 形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休 闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅W(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与 曲线CE相切：另一排为单人弧形椅沿曲线C(宽度不计)摆放.已知双人靠背直排椅的造 价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=O,总造价为T元. (1)试将T表示为O的函数W(O),并写出cos0的取值范围： (2)问当AM的长为多少时，能使总造价W最小. B 20.已知椭圆G 三+)1(a>b>0)经过A0、B0.b)两点，0为坐标原点，且 AOB的面积为 二.过点P(0,1)且斜率为k(k>0)的直线1与椭圆C有两个不同的交点从 N,且直线AM、AN分别与y轴交于点S、T. (1)求椭圆C的方程： (2)求直线I的斜率的取值范围： (3)设PS=1PO,PT=uPO,求元+4的取值范围. 21.已知f(x)=(2-a)lnx+二+2ax(a≤0). X (1)当a=0时，求函数y=f(x)的极值： (2)当a<0时，讨论y=f(x)的单调性： (3)若对任意的a∈(-3，-2)，x、x∈[1,3]，恒有(m+ln3)a-2ln3>f(x)-