2.5.2 圆与圆的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 目 录 ☯知识清单☯ 1. 圆与圆的位置关系及其判定 - 3 - 2. 两圆的公切线 - 3 - 3. 两圆公共弦所在直线方程 - 3 - 4. 利用圆系方程求圆的方程 - 4 - ☯典型例题☯ 母题1：判断圆与圆的位置关系 - 5 - 母题2：由圆与圆的位置关系求参数 - 6 - 母题3：两圆的公共弦问题 - 8 - 母题4：两圆的公切线有关问题 - 10 - 母题5：圆系方程的应用 - 13 - 2.5.2 圆与圆的位置关系 ☯知识清单☯ 1. 圆与圆的位置关系及其判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断。 消元，一元二次方程 2. 两圆的公切线 （1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； （2）公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3. 两圆公共弦所在直线方程 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程。 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程。 4. 利用圆系方程求圆的方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是： （） （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是。 ☯典型例题☯ 母题1：判断圆与圆的位置关系 1. 已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 3. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 4. 已知圆（，为常数）与。若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．内切 D．相离 5. （多选）圆与圆的位置关系可能是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 母题2：由圆与圆的位置关系求参数 1. 若圆与圆相交，则的取值范围是__________。 2. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ） A． B． C．或 D．或 3. 已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4. 若圆上有到的距离为的点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 母题3：两圆的公共弦问题 1. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2. 已知圆：和圆：，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 3. 已知圆过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆的直径，则圆的面积为（ ） A． B． C． D． 4. 已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 母题4：两圆的公切线有关问题 1. 已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 2. 若点到直线的距离分别为和，则这样