2.5.1 直线与圆的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 目 录 ☯知识清单☯ 1. 直线与圆位置关系的判断 - 1 - 2. 直线与圆相交时的弦长求法： - 2 - 3. 圆上一点到圆外一直线的距离 - 2 - 4. 直线与圆相切时的切线问题 - 3 - 5. 与圆的切线相关的结论 - 3 - ☯典型例题☯ 母题1：直线与圆的位置关系判断 - 4 - 母题2：由直线与圆的位置关系求参数 - 6 - 母题3：圆的弦长问题 - 10 - 母题4：求圆的切线方程 - 11 - 母题5：与切线长有关的问题 - 14 - 母题6：切点弦及其方程应用 - 16 - 母题7：直线与圆的距离问题 - 19 - 母题8：直线与圆的实际应用 - 20 - 2.6 直线与圆的位置关系 ☯知识清单☯ 1. 直线与圆位置关系的判断 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 ①直线与圆相离无交点； ②直线与圆相切只有一个交点； ③直线与圆相交有两个交点。 （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： ①当时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； ②当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； ③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2. 直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：； （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长或。 3. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，。 4. 直线与圆相切时的切线问题 （1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况。 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 （2）求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 5. 与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为； （2）过上一点的圆的切线方程 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为： （4）若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为。 （5）圆心的三个重要几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 ☯典型例题☯ 母题1：直线与圆的位置关系判断 1. 直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2. 圆与直线的位置关系为（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 3. （多选）直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 4. 已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 6. 直线与圆的大致图象可能正确的是（ ） A． B． C． D． 母题2：由直线与圆的位置关系求参数 1. 已知圆与直线相切，则（ ） A． B． C． D． 2. 已知对任意的实数，直线与圆有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3. 若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4. 若直线与