2.4 圆的方程讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4 圆的方程 目 录 ☯知识清单☯ 1. 圆的标准方程 - 2 - 2. 圆的一般方程 - 3 - 3. 求圆方程的方法 - 4 - 4. 点和圆的位置关系 - 4 - ☯典型例题☯ 母题1：由圆的标准方程确定圆心与半径 - 5 - 母题2：求圆的标准方程 - 6 - 母题3：圆的一般方程与标准方程互化 - 9 - 母题4：求圆的一般方程 - 11 - 母题5：二元二次方程与圆的关系 - 13 - 母题6：点与圆的位置关系 - 14 - 6-1：位置关系的判定 - 14 - 6-2：点到圆上一点的距离问题 - 16 - 母题7：与圆有关的对称问题 - 18 - 2.4 圆的方程 ☯知识清单☯ 1. 圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为。 （4）几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 2. 圆的一般方程 （1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程。 其中为圆心，为半径。 （2）一般方程与标准方程关系： 由方程得 ①当时，方程只有实数解。它表示一个点。 ②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 ③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆。 3. 求圆方程的方法 （1）求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据已知条件，建立关于或的方程组； ③解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。 （2）直接法 直接把圆心和半径求出。要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 4. 点和圆的位置关系 （1）位置关系的判定： 设所给点为，圆的标准方程为，圆心，半径为。 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ （2）某点到圆上点的距离问题： ①若点在圆内，则，； ②若点在圆外，则，； ③若点在圆上，则，。 ☯典型例题☯ 母题1：由圆的标准方程确定圆心与半径 1. 圆的圆心为（ ） A． B． C． D． 2. 圆的半径长等于( ) A． B．1 C． D．4 3. 已知圆的方程为，则圆心的坐标是（ ） A． B． C． D． 母题2：求圆的标准方程 1. 以点为圆心，为半径的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2. 过点，且圆心在直线上的圆的半径是 。 3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为________。 4. 已知，则以为直径的圆的方程为 。 5. 已知一圆经过点，圆心在直线上，且半径为，求该圆的标准方程。 6. 若圆过点、，且圆心到直线的距离为，求圆的标准方程。 7. 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的方程为 。 母题3：圆的一般方程与标准方程互化 1. 已知圆方程的圆心为（ ） A． B． C． D． 2. 圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 3. 已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．，10 C．， D．，10 4. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A．3 B．2 C． D． 5. 已知实数满足方程，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D． 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 母题4：求圆的一般方程 1. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ） A． B． C． D． 2. 过四点，，，