1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 推 广 1.1.2 空间向量的数量积 回忆 学习平面向量时，是如何研究它的数量积运算的？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 一、空间两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量 的夹角， 记法： 作 范围： 二、空间向量的数量积 零向量与任意向量的数量积为 . 0 实数 投影向量 (1) (2) 图1.1-11 A B (3) 图1.1-11 问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？ >0 <0 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 平面向量数量积的运算律 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 空间向量数量积的运算律 辨析 非零向量 数量积运算 数量积运算 可约吗？ 可除吗？ 可结合吗？ 不约 不除 不结合 误区 [针对训练]已知在长方体中,, 为侧面的中心,为的中点.求下列向量的数量积. A B C D A B C D (1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. 利用向量方法求长度或距离的基本方法 利用数量积求向量的夹角 [例2] 如图,在直三棱柱中,.求,>的值. [变式探究2] 本例中若点为的中点,求异面直线与夹角的余弦值. (1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. 求两个非零向量夹角的两种途径 (2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值. l m n g l m n g 判断或证明垂直问题 [例4] 如图所示,在正方体中,O为与的交点,G为的中点,求证:平面. 28 [解析]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. [典例1]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. [典例1]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． (1)·; (2)·. (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|== . 变式2-2．已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 解:由已知得||=||=1,||=2, ·=·=·=0, 因为||2==(+)2=+=12+22=5, 所以||=, 因为||2==(-)2=+=12+12=2,所以||=,又因为·=(+)·(-)=-=-1, 所以cos<,>===-. 所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为. [典例2]　如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为______，异面直线PA与BC所成角的余弦值为________． $$