13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练 学习目标 1.掌握含有30°角的直角三角形的性质.（重点） 2.经历探索含有30°角的直角三角形性质的过程，并运用其进行有关的证明和计算.（难点） 新课导入 复习引入 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 3条对称轴 1条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 新课导入 复习引入 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 边（定义） 角 特殊法 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 两个角相等的三角形是等腰三角形 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 新知探究 动手操作 用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 最短的直角边长 斜边长 学生甲 学生乙 学生丙 6.7cm 13.5cm 6.8cm 13.5cm 14.4cm 29cm ×2≈ ×2≈ ×2≈ 新知探究 思考 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 A B D C 30° 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 新知探究 猜想：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半. 你能证明这个猜想的正确性吗？ 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 求证：BC= AB． 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°，∠A=30°, ∴∠B=60°． A B C ∴BC= AB．　　 ∴BC = BD．　　 证法一： 如图，延长BC到点D，使BD=AB，连接AD， 则△ABD是等边三角形． 又∵AC⊥BD, D 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 证明：在BA上截取BE=BC，连接EC. A B C 即BC= AB．　　 证法二： E ∵∠B= 60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC= 60°，BE=EC. ∵∠A= 30°， ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴AE=EC，∴AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC， 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 该性质的几何语言： 在Rt△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A=30°，　　 ∴BC= AB．　　 A B C 该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质. 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC,DE要多长？ A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °， ∴BC= AB,DE= AD. ∴BC= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 例2 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°. （1）若CD=8cm，则BC的长度是多少？ 解：（1）∵CD是斜边AB边上的高， ∴∠BDC=90°. ∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm， ∴BC=2CD=16cm. B C A └ D 知识点 含30°角的直角三角形的性质 新知探究 例2 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°. （2）若AD=3cm，则AB的长度是多少？ 解：（2）在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵CD是斜边AB边上的高，∴∠ADC=90°.∴∠ACD=30°. ∵在Rt△ACD中，∠ACD=3