素养培优-专题四 代数与方程 人教版数学七年级上册

专题四 代数与方程 方程是解决现实问题的一种重要的数学工具.本专题主要涉及一元一次方程在代数式求值以及探索规律中的应用、新定义问题、数轴上的行程问题等.要求学生能够运用一元一次方程描述现实问题中的数量关系和变化规律进而解决具体问题，掌握数形结合、分类讨论等数学思想方法. 类型一 方程在代数式求值中的应用 1. 按如图的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有4个. 2. 已知与是同类项，则的值为( A ). A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则多项式的值是( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. ，，且，则或. 5. 的取值和代数式的对应值如下表: … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，得出的如下结论中: ；；；④使的值为0的值在2和3之间. 其中正确的是①②④.（填序号） 6. 阅读:关于的方程在不同的条件下解的情况如下: （1）当时，有唯一解；（2）当，时,有无数解；（3）当，时,无解. 请你根据以上知识作答:已知关于的方程无解，则的值是( A ). A. 1 B. C. D. 类型二 方程在探索规律中的应用 7. 某礼堂的横排座位按下列方式设置，请你根据下表算出座位数为56的排数是( C ). 排数 1 2 3 4 … 座位数 20 24 28 32 … A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图3是另一个三阶幻方，则的值为( A ). A. B. 2 C. 4 D. 9. 如图，是按一定的规律搭出的图形，其中第1个图形中有6个正方形，第2个图形中有11个正方形，第3个图形中有16个正方形， ，若第个图形中正方形的个数是，则的值为( A ). A. 404 B. 405 C. 406 D. 407 类型三 新定义问题 10. 我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如:的解为2，且，则该方程是差解方程.若关于的一元一次方程是差解方程，则. 11. 对于有理数，，定义了一种新运算“”为 如:，. （1） 计算:5；. （2） 若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值. 解:当时，，此时；当时，，此时，舍去. 综上所述，的值是1. （3） 若，，且，求的值. [答案]当时，，即，所以，不合题意，舍去.所以. 所以由，得，即， 整理，得，所以. 12. 若一个两位数十位、个位上的数字分别为，，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数也可以用此记法，如. 【基础训练】 （1） 填空: ① 若，则. ② 若，则2. 【能力提升】 （2） 交换一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新两位数，如果所得的新两位数比原两位数大9，请求出这样的两位数. 解:由题意，得， 化简得， 所以这样的两位数为89，78，67，56，45，34，23，12. 【探索发现】 （3） 数学中有一个有趣的黑洞现象:任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”. 通过探索发现:该“卡普雷卡尔黑洞数”为495. 类型四 数轴上的行程问题 13. 已知数轴上有，，三点分别代表，，12，两只电子蚂蚁甲、乙分别从，两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，则甲、乙在数轴上的相遇点为( C ). A. B. C. D. 0 14. 如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，.点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒3个单位长度的速度从点向左运动（点,同时出发）.经过( C )秒，点,分别到原点的距离相等？ A. 5 B. 5或4 C. 5或7.5 D. 7.5 15. ［知识背景］数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离表示为，线段的中点表示的数为. ［知识运用］已知数轴上，两点对应的数分别为和，且，为数轴上一动点，对应的数为. （1） 4，2； （2） 若点为线段的中点，则点对应的数为3，若点为线段的中点，则点对应的数为0； （3） 若点,同时从图中位置在数轴上向左运动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，则经过1秒,点追上点； （4） 若点,同时从图中位置