素养培优专题七 数学思想——分类讨论 讲义 2023－2024学年人教版数学七年级上册

专题七 数学思想——分类讨论 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分别讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论. 什么样的题会出现分类讨论——在题目的计算步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等). 分类讨论需要注意什么——关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性. 分类讨论中最容易错的是什么——讨论时有重复或遗漏,讨论之后不检验是否符合题意. 类型一 有理数中的分类讨论 1. 如果,那么的值是( ). A. 或1 B. C. 1 D. 0或1 2. 如果,则的值是( ). A. B. C. D. 3. 点为数轴上表示的动点,当点沿数轴移动4个单位长度到点时,点所表示的数为( ). A. 2 B. C. 2或 D. 4 4. 若是2的相反数,,则的值是( ). A. B. 1 C. 或5 D. 1或 5. 若,则 . 6. (1) 若,则 ; (2) 若,则 ; (3) 若,则 ; (4) 若,则 . 7. 已知是关于,的一个三次三项式,则代数式的值等于 . 8. 已知,,且,求的值. 9. 若,试比较与的大小. 类型二 和整式方程有关的分类讨论 10. 设为整数,且关于的方程的解为自然数,求的值. 11. 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水目的.该市自来水收费价格见价目表,若某户居民1月份用水,则应收水费:(元). 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注:水费按月结算 (1) 已知该户居民2月份用水,则应收水费 元; (2) 已知该户居民3月份交水费48元,若设该户居民3月份用水,求的值; (3) 若该户居民4,5月份用水(5月份用水量超过4月份用水量),共交水费64元,则该户居民4,5月份各用水多少立方米? 12. 一商场经销的,两种商品,种商品每件进价40元,提价出售,种商品每件进价50元,售价80元. (1) 种商品每件售价为 元,种商品每件售价比进价提高了 %; (2) 在“元旦”期间,该商场对,两种商品进行如下的优惠活动: 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于450元 不优惠 超过450元,但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠,超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件,小华一次性购买,商品实际付款522元,若没有优惠促销,小华在该商场购买同样商品要付多少元? 类型三 几何中的分类讨论 13.已知,,的大小关系如图所示,则下列四个结论中正确的个数是( ). ;;;. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 已知线段,点是直线上的一点,,,点是线段的中点,则线段的长为( ). A. B. C. 或 D. 或 15. 已知 , ,平分,平分,则的度数等于( ). A. B. C. 或 D. 或 16. 已知多项式是关于的二次多项式,且二次项系数为,如图所示的数轴上两点,对应的数分别为,. (1) 填空: , ,线段的长度为 ; (2) 动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为秒,是线段的中点,当时,求线段的长度; (3) 是线段的中点,若在数轴上存在一点,使得,求线段的长度. 17. 如图所示,已知,的余角比小 . (1) 求的度数; (2) 过点作射线,使得,请你求出的度数. 第 页 $$专题七 数学思想——分类讨论 在数学中，如果一个命题的条件或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分别讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论. 什么样的题会出现分类讨论——在题目的计算步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”（如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等）. 分类讨论需要注意什么——关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性. 分类讨论中最容易错的是什么——讨论时有重复或遗漏，讨论之后不检验是否符合题意. 类型一 有理数中的分类讨论 1. 如果，那么的值是( C ). A. 或1 B. C. 1 D. 0或1 2. 如果，则的值是( D ). A. B. C. D. 3. 点为数轴上表示的动点，当点沿数轴移动4个单位长度到点时，点所表示的数为( C ). A. 2 B. C. 2或 D. 4 4. 若是2的相反数，，则的值是( D ). A. B. 1 C. 或5 D. 1或 5. 若，则1或. 6. （1） 若，则1； （2） 若，则； （3） 若，则1； （4） 若，则1或. 7. 已知是关于，的一个三次三项式