素养培优-专题八 数学思想——数形结合讲义2023-2024学年 人教版数学七年级上册

专题八 数学思想——数形结合 数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思想方法.由数想形，由形知数.著名数学家华罗庚说过“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”几何图形形象直观，便于理解；用代数方法解题，操作性强，便于把握. 类型一 与代数相关的数形结合 1. 点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为( A ). A. 点 B. 点 C. 点 D. 无法确定 2. 一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是( D ). A. 1 B. C. 1或 D. 1或 3. 已知，，在数轴上的位置如图所示，化简. 4. 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，且. （1） 求和的值； 解:由题意，得，异号且， 所以它们互为相反数， 所以，. （2） 化简：. [答案]由题意可知， ，且， 所以原式 . 5. 如图，数轴上的点，，，，表示的数分别为，，，，2，回答下列问题. （1） 将点，，，，表示的数用“ ”连接起来. 解:. （2） 若将原点改在点，则点，，，，所表示的数分别为多少，将这些数也用“ ”连接起来. [答案]若将原点改在点，则点，，，，所表示的数分别为，，0，，3， 将这些数用“ ”连接起来为. （3） 改变原点的位置后，点，，，，所表示的数的大小排列顺序改变了吗？这说明了关于数轴的什么性质. [答案]改变原点的位置后，点，，，，所表示的数的大小排列顺序不改变； 说明数轴具有如下性质:数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大. 类型二 与几何相关的数形结合 6. 已知线段，直线上有一点，且，是线段的中点. （1） 如图，当点在线段上时，求的长； 解:如图1所示，当点在点与点之间时， 因为线段，，所以. 因为是线段的中点， 所以. （2） 若点在直线上，求的长. [答案]当点在点的左侧时，由（1）得; 当点在点的右侧时，如图2所示， 因为，所以. 因为是线段的中点，所以， 所以. 综上所述，的长为或. 7. 如图，射线上有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点，停止运动. （1） 若点的运动速度为，经过多长时间，两点相遇？ 解:设经过秒，，两点相遇， 则，解得，所以经过30秒，，两点相遇. （2） 当在线段上且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点的运动速度. [答案]因为，，所以，.所以点，的运动时间为65秒. 因为，，所以或， 所以点的运动速度为或 8. 已知线段（是常数），点和点为直线上两点，点在线段上，，. （1） 若点恰好是线段的中点，点在线段上，则（用含的代数式表示）； （2） 若点在点的右侧，的长是否为定长，若是定长，请求出这个定长；若不是，请说明理由. 解:如图，当点在点的右侧时， 因为，，所以，， 所以（是常数），此时的长是定值； 如图，当点在点的左侧时， 设，因为，，所以，， 所以此时的长随的变化而变化，不是定值. 综上，当点在点的右侧时，的长是定值；当点在点的左侧时，的长不是定值. 9. 如图，是数轴上一条动线段，满足，“点在数轴上对应的数为24”表示为. （1） 若线段在线段上，且满足. ① 22； ② 点是线段上一点，满足，则18； （2） 如图，设且，是数轴上一点，若，猜想与的关系，并说明理由. 解:猜想:，理由如下:因为，，所以， 因为，，所以，， 因为，，所以，因为，所以， 所以. 10. 【概念学习】 点，，为数轴上的三点，如果点到点的距离是点到点的距离的2倍，那么我们就称点是，的偶点. 如图1，点表示的数为，点表示的数为1，表示0的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是，的偶点；表示的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是，的偶点，但点是，的偶点. 【初步探究】 如图2，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，若点是，的偶点，回答下列问题： （1） 当在点，之间时，点表示的数为3； 解:设表示的数为，且， 因为点表示的数为，点表示的数为5，所以，. 因为点是，的偶点，所以，所以， 解得.所以点表示的数为3. （2） 当为数轴上一点时，点表示的数为3或11. [解析]设表示的数为， 因为点表示的数为，点表示的数为5，所以，， 因为点是，的偶点，所以，所以， 解得或11.所以点表示的数为3或11. 【深入思考】 如图3，,为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为4