第二章一元二次方程根与系数参数和动点问题专练2023-2024学年北师大版九年级上册数学

一元二次方程根与系数参数和动点问题专练 根与系数参数： 【例1】已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根． （2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值 【变式3】已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长． 动点问题： 【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　） A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟 第1题图 第2题图 2．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4，那么x的值为 　 　． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 4．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发． （1）几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积可能等于10cm2吗？为什么？ 5.如图,已知RT△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=8.动点P从点C出发,以每秒2个单位的速度沿射线CB方向运动,连接AP,设运动时间为ts. （1）求斜边AB的长 （2）当t为何值时,△PAB的面积为6 （3）若t<4,请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问:当t为何值时,BQ长为4?并求出此时点Q到边BC的距离 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)． (1)经过几秒钟后，S1＝S2? (2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值． 【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 8．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止． 已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，以P、N两点重合？ （2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由． （3）当x为何值时，以