2.3二次函数与一元二次方程、不等式 学案——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学《精品教学案》 专心听讲，勤于思考。 《精品教学案》 及时复习，认真完成。 章节 2．3 课题 二次函数与一元二次方程、不等式 教 学 目 标 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 教学重点 二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式。 教学难点 含参一元二次不等式的解法，不等式恒成立、能成立问题的解决思路。 【新知探究】 一、三个二次及其关系 1．一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数，并且未知数的 的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使方程 的实数x叫做 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 3．三个二次的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 有两相异实根x1<x2 有两相等实根x0＝－ 无实根 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} x|x≠－ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象 ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a<0)的解集 2、 含参不等式的解法 4．讨论的依据 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＝0，a>0，a<0. (2)关于不等式对应方程根的讨论：无根(Δ<0)，一根(Δ＝0)，二根(Δ>0)． (3)关于不等式对应方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 实践中，常常先尝试是否能因式分解,若能分解因式，则依据根的大小进行讨论，兼顾开口方向; 若不能分解因式，则依据判别式情况进行分类讨论，兼顾开口方向. 三、不等式恒成立与能成立问题 5．解题策略：对于含参不等式在实数集R上的恒成立与能成立问题，常用判别式法解决； 对于含参不等式在某给定范围上的恒成立与能成立问题，常用分参数后求具体函数的最值 或在某给定范围上讨论最值的方法解决，简称分参求最值和讨论求最值。 6．特殊情况：对于给定参数范围的恒成立问题，常采用更换主元法求实数x的范围。 【典型例题】 例1.解下列不等式． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6； (4)<0； (5)≤1； 解一元二次不等式，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象进行． 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可． 例2.解关于x的不等式（1）ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).（2） 2x2＋ax＋2>0(a∈R). 高一数学《精品教学案》 班级 ，姓名 。 领先一步，领先一路。《精品教学案》 集思广益，共同进步。 例3.设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． (3)对于m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围． 【达标检测】 A组 1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(　　) A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2} 2、若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，2) D．(－∞，－2)∪[2，＋∞) 3、若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的