2.4.2 圆的一般方程 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程 1.【学习内容分析】 本节内容是在学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。圆的一般方程，是几何和代数结合的进一步应用，也是在学习了直线一般式方程的基础上，以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路. 2.【学习目标】 （1）通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，能将圆的标准方程化为一般方程，培养数学抽象的核心素养. （2）通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，能判断任意一个二元二次方程是否是圆的一般方程，会由圆的一般方程求圆心和半径，发展数学运算的核心素养. （3）通过具体例题的讲解，会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 3.【学习重难点】 学习重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程. 学习难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题. 4.【知识准备】 认知准备：知道圆的几何特征和圆的标准方程，掌握直线的一般式方程的研究过程. 前测： 1.上节课我们学习了圆的标准方程，你还记得吗？ 圆的标准方程：以为圆心，以为半径的圆的标准方程为： 直线的一般式方程： 直线一般式方程的研究过程是什么样的？ 2. 请利用圆的标准方程回答下列问题： （1）以为圆心， 为半径的圆的标准方程是什么？ （2）标准方程为的圆，圆心为 ，半径为 . 5.【概念的形成】 【问题1】在课前小测中，我们得到了几个圆的标准方程，直线的一般方程是二元一次方程的形式，通过运算我们可以将这几个圆的标准方程变形，是否也可以类似的写成二元二次方程的形式？ 圆的标准方程 二元二次方程 【追问1】观察上面两个圆的方程，它们有什么特点？ 【追问2】任意一个二元二次方程表示的图形都是圆吗？ 【变式1】判断：通过课前小测中的两个例子，我们知道，和都是圆的方程，那么我们将这两个方程中的做一些变化，下列三个方程表示的图形是否还能表示圆？请说明你的理由． 1 2 3 4 【追问1】方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？ 【问题2】将方程配方， 请你分析，满足什么条件时，这个方程表示圆？ 【圆的一般方程】我们把方程 叫做圆的一般方程，圆心是 ，半径是 . 6.【概念的理解】 【做一做】 1.已知圆，则圆心坐标、半径的长分别是(　　) A．， B． (－2,1)， C．， D．， 2.判断方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，请说明理由． 7.【概念的应用】 【例1】求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 【追问】通过这个例题，你能说说用待定系数法求圆的方程的一般过程是什么样的？ 【例2】已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【追问】根据上述例题，大家可以总结求解轨迹方程的一般步骤吗？ 【练习】 1.以为圆心，为半径的圆的方程为( ) A. B. C. D. 2.方程表示圆，则的取值范围是( ) A.或 B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________. 4.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的方程. 5.已知直角的斜边为，且，，求： (1)直角顶点的轨迹方程； (2)直角边中点的轨迹方程． 8.【反思与小结】 1.圆的两种方程： 圆的两种方程 标准方程 一般方程（） 圆心为，半径为 圆心为， 2.应用圆的方程解决简单的数学问题. 　9.【课后作业】　　 A组 1. 下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长. （1）； （2）； （3）； （4）. 2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.圆的半径为______. 4．求圆关于直线对称的圆的方程． 5.已知定点，圆上有一个动点，若的中点为，求动点的轨迹． B组 1. 已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求： （1）动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 2．已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3.已知平面直角坐标系中两