4.4 对数函数（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

4.4对数函数（精讲） 一．对数函数的概念 1.概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.概念理解 (1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. (2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　 二．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3． 对数函数图像 两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图. 　　　 四.反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. 1． 对数函数的判断 1.系数：对数符号前面的系数为1 2.底数：对数的底数大于0且不等于1 3.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域 1.分母不能为0； 2.根指数为偶数时，被开方数非负； 3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 三．比较对数值大小 1.同底数的利用对数函数的单调性. 2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3.底数和真数都不同，找中间量. 4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 四.y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性； (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零. 7.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 考点一 对数函数的概念 【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【一隅三反】 1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 考点二 对数函数的定义域 【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2023秋·辽宁 ）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【例2-3】（2023秋·江苏连云港· ）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【一隅三反】 1．（2023秋·高一课时练习）函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2023秋·宁夏银川 ）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·浙江温州 ）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三 对数函数图像的辨析 【例3-1】（2023·云南保山）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若，则函