4.3 对数运算（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数运算（精讲） 一.对数的概念 1.对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln N 二.对数与指数的关系与性质 1．对数与指数的关系 (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. (2)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 2．对数的性质 (1)loga1＝0 (a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1 (a>0，且a≠1)． (3)零和负数没有对数． 三.对数运算性质 1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 2.换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 一．对数与指数的关系示意图． 二．指数式与对数式互化 1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 三．利用对数运算性质化简与求值 1.基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 2.两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 考点一 对数的概念 【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是 . 【一隅三反】 1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是 ． 考点二 指数式与对数式的互化 【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3).(4)；(5)；(6)；(7). 【一隅三反】 （2023·江苏）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 考点三 对数运算性质 【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4). 【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【一隅三反】 1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）： (1) (2) (3) (4) 2．（2023广东湛江）计算下列各式的值． (1)； (2)． (3)； (4)． (5) . (6) . (7)； (8) (9)； (10) (11), (12), 考点四 对数与指数的综合应用 【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【一隅三反】 1．（2023春·天津）已知，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023秋·广东）已知，则 . 3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为 ． 4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 考点五 对数的实际应用 【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅