4.2 指数函数（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数（精讲） 一．指数函数的概念 1.定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 二．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 三．底数与指数函数图象的关系 1.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 四．单调性的应用 3.解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 4.与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 一．函数图象 1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. 2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). 3.利用函数的性质：奇偶性与单调性. 4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.　　 二.y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论. 2.y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 三．比较指数幂大小的常用方法 1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断 2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断 3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较 考点一 指数函数的概念 【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 指数函数的解析式与函数值 【例2】（2023春·新疆）指数函数且图像经过点，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【一隅三反】 1．（2023·全国·高一专题练习）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 2．（2023秋·高一课时练习）若指数函数的图象经过点，则 ． 3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则 ． 考点三 定义域与值域 【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域： （1）；（2）. 【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域； (1)； (2)； (3). 【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023秋·高一课时练习）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·高一课时练习）函数的定义域为 . 3．（2023秋·高一课时练习）函数的