4.1 指数运算（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

4.1 指数运算（精讲） 一．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二.根式的性质 1.负数没有偶次方根. 2.0的任何次方根都是0，记作＝0. 3.()n＝a(n∈N*，且n>1). 4.＝a(n为大于1的奇数). 5.＝|a|＝(n为大于1的偶数). 三.分数指数幂 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 四.有理数指数幂的运算性质 1.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). ④＝ar－s(a>0，r，s∈Q). 2.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 一．与()n的区别 1.是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2.()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　 二．根式与分数指数幂互化 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 2.根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 3.利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 考点一 根式的意义求范围 【例1】（2023·云南曲靖）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·北京）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求 3．（2023·全国·高一假期作业）若代数式有意义，则 . 考点二 根式的性质化简或求值 【例2-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期末）（多选）若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 【一隅三反】 1．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）（多选）已知xy≠0，且，则以下结论错误的是（    ） A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 2．（2023·全国·高一假期作业）化简的结果是 ． 3．（2023·全国·高一假期作业）化简 . 考点三 根式与指数幂的互化 【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【例3-2】（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例3-3】（2023云南）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【一隅三反】 1．（2023·全国·高一课堂例题）化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 2．（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4) ； (5) . (6) 计算：； (7)（，）. 3．（2023秋·高一课时练习）已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 4.1 指数运算（精讲） 一．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号