第一章 勾股定理 第2课时探索勾股定理（二） (内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·八年级·上册·配北师大版（内文） ·内 文· 第一章 勾股定理 第2课时 探索勾股定理（二） 1．在△ABC中，∠A＝90°，则下列各式不成立的是( ) A．BC2＝AB2＋AC2 B．AB2＝AC2＋BC2 C．AB2＝BC2－AC2 D．AC2＝BC2－AB2 B 2．一直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，则c2的值是( ) A．5 B．7 C．25 D．25或7 D 如图1－2－1，有四个全等的直角三角形，其直角边长分别为a和b，斜边长为c，用它们可以拼成一个图形来验证勾股定理：a2＋b2＝c2． 用两种方法计算小正方形的面积： S小正方形＝（b－a）2＝b2－2ab＋a2， S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab. 所以b2－2ab＋a2＝c2－2ab.所以a2＋b2＝c2． 3. 如图1－2－2是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形的面积为25，ab＝8，则小正方形的边长为( ） A．9 B．6 C．4 D．3 D 【例1】（课本P7习题）1876年，美国总统伽菲尔德利用图1－2－3验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出你的验证过程． 知识点1： 验证勾股定理 思路点拨：此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可． 解：根据面积公式, 可得12(a＋b)(a＋b)＝2·ab＋c2， 所以（a＋b）（a＋b）＝2ab＋c2. 所以a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2.所以a2＋b2＝c2． 4. 将四块全等的直角三角形纸板分别拼成如图1－2－4①，图1－2－4②所示的正方形，请通过由图1－2－4①到图1－2－4②的转换，验证勾股定理． 解：由图1－2－4②, 得 （a＋b）2＝a2＋b2＋4·ab. 由图1－2－4①,得 （a＋b）2＝c2＋4·12ab． 根据图1－2－4①和图1－2－4②面积相等， 得a2＋b2＋4·ab＝c2＋4·ab. 所以a2＋b2＝c2． 【例2】（课本P6习题）如图1－2－5是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三个城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km， 该沿江高速公路的造价预计是多少？ 知识点2： 勾股定理的简单应用 思路点拨：分别利用勾股定理得出 MO，QO的值，进而求出预估的造价． 解：由题意， 得MO2＝302＋402＝2 500,所以MO＝50（km）. 因为QO2＝502＋1202＝16 900,所以QO＝130（km）. 故该沿江高速公路的造价预计是（50＋130）× 5 000＝900 000（万元）＝90（亿元）. 答：该沿江高速公路的造价预计是90亿元． 5. 如图1－2－6，AC⊥BC，原计划从A地经C地到B地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由A地到B地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为2 km.已知高速公路一千米造价为3 000万元，隧道一千米造价为5 000万元，AC＝80 km，BC＝60 km，改建后可省工程费用多少？ 解：在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2， 所以AB2＝AC2＋BC2＝802＋602＝10 000. 所以AB＝100(km). 所以节省的工程费用为（80＋60）×3 000－ （100－2）×3 000－2×5 000＝116 000（万元）. 答：改建后可省工程费用116 000万元． 6. （创新题）用4个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和两个腰长为c的等腰直角三角形拼接成如图1－2－7所示的等腰梯形，你能通过这个图形验证勾股定理吗？ 解：能通过这个图形验证勾股定理. 理由：因为等腰梯形的面积＝4个直角三 角形的面积＋两个等腰直角三角形的面积， 所以（2a＋2b）（a＋b）＝4×ab＋ 2×c2，即（a＋b）2＝2ab＋c2. 整理，得a2＋b2＝c2． 7. （创新变式）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图1－2－8，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接AC′，AC，CC′，此时∠CAC′＝90°，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理． 解：因为四边形BCC′D′为直角梯形， 所以S梯形BCC′D′＝ （BC＋C′D′）·BD′＝. 因为AB＝AB′，∠AB′C′＝∠ABC＝90°，BC＝B′C′， 所以△ABC≌△AB′C′. 所以AC′＝AC＝c. 所以S梯形BCC′D