2.2.3 直线的一般式方程-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3　直线的一般式方程 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 2．会进行直线方程的五种形式之间的转化． 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一 直线的一般式方程 1．关于x，y的二元一次方程，它都表示一条 ． 2．我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为 )叫做直线的一般式方程，简称一般式．若A＝0，则y＝ ，它表示一 条与 平行或重合的直线；若B＝0，则x＝ ，它表示一条与 平行或重合的直线． 1.直线y＋2＝(x－1)化为一般式方程，正确的是(　　) A．x＋3y－7＝0　　　　　 B．x－3y－7＝0 C．x＋3y＋7＝0 D．x－3y＋7＝0 知识点二 直线方程的互化 1．直线的一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，化为斜截式为y＝ ； 化为截距式为 ＝1. 2．点斜式y－y0＝k(x－x0)，化为一般式为 ；斜截式y＝kx＋b，化为一般式为 ；两点式＝，化为一般式为 ；截距式＋＝1，化为一般式为 . 1.把直线的一般式方程x＋y－1＝0化为斜截式，正确的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 2．直线x＋2y＝0在y轴上的截距为__________． 知识点三 直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有待定系数(也称参变量)． (1)已知直线纵截距b，常设其方程为y＝kx＋b(不适用于斜率不存在的直线)； (2)已知直线横截距a，常设其方程为x＝my＋a(不适用于斜率为0的直线)； 考点一 直线的一般式方程 角度1 求直线的一般式方程 例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 【对点演练】已知直线经过点(1，－1)，斜率为2，求直线的点斜式方程，并化成一般式． 角度2 含参数的一般式方程 例2 设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R).若直线l不过第三象限，求a的取值范围． 【对点演练1】若本例中的方程不变，将“直线l不过第三象限”改为“直线l不过第二象限”，求a的取值范围． 【对点演练2】若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的取值范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值． 考点二　直线方程的互化 例3．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________． 考点三 利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 角度1　由平行、垂直求直线方程 例4　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 【对点演练】直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　) A.3x＋2y－1＝0　　　　　 B．3x＋2y＋7＝0 C.2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 角度2　由直线的平行、垂直求参数值 例5　已知直线l1：x＋2ay＋1＝0，直线l2：(3a－1)x－ay－7＝0. (1)若l1⊥l2，求实数a的值； (2)若l1∥l2，求实数a的值． 【对点演练1】已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________． 【对点演练2】直线x＋3y＋m＝0和直线3x－y＋n＝0的位置关系是(　　) A.平行 B．垂直 C.不平行也不垂直 D．与m，n的取值有关 考点四 定点问题 例6　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； (2)求使直线l不经过第二象限的a的取值范围． 【对点演练】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (3)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 一、单项选择题 1．直线2x＋5y－10＝0在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则(