上海市大同中学2024届高三上学期开学考数学试题

大同中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6小题每题4分，后6小题每题5分） 1. 不等式的解集是__. 2. 若，，则__________． 3. 若数列为首项为3，公比为2等比数列，则__________． 4. 已知，则__________． 5. 已知函数，则的值域为__________． 6. 已知复数，则__________． 7. 已知圆的面积为，则__________． 8. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，__________． 9. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则__________． 10. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________． 11. 已知当时，有，若对任意的都有，则______. 12. 若函数有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______． 二、选择题（本大题共4小题，前2小题4分，后2小题5分，满分18分） 13. 观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）． A. ①②③ B. ②①③ C. ①③② D. ③①② 14 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 15. 已知函数（）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有 ，则实数m的取值范围为（　　） A. B. [1，2] C. D. 16. 关于曲线，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称，但不关于轴，轴对称； ②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ④曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点 （1）证明：平面． （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立． （1）若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围． 20. 已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程； （2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为. ①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值； ②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值. 21. 已知函数和，它们的图像分别为曲线和. （1）求函数单调区间； （2）证明：曲线和有唯一交点； （3）设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列. 大同中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6小题每题4分，后6小题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】3 【3题答案】 【答案】381 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】228 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4小题，前2小题4分，后2小题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1），b=3 （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 【20题答案】