2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（七大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

2．3二次函数与一元二次方程、不等式 【题型归纳目录】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立与有解问题 题型七：一元二次方程根的分布问题 【知识点梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【典型例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 例1．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 例2．（2023·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)． 例3．（2023·云南文山·高一校考期中）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； 变式1．（2023·江苏·高一专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 例4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（多选题）（2023·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例6．（多选题）（2023·山西运城·高一校考阶段练习）已知一元二次方程的两个根为，且，那么满足的的取值有（    ） A． B． C． D． 变式2．（多选题）（2023·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知不等式的解集为或，其中，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为或 变式3．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 例7．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）； 例8．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：(). 例9．（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于的不等式: . 变式4．（2023·高一课时练习）已知. (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不