2.1 等式性质与不等式性质（七大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

2．1 等式性质与不等式性质 【题型归纳目录】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 题型二：作差法比较两数（式）的大小 题型三：作商法比较两数（式）的大小 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 题型五：利用不等式的性质证明不等式 题型六：利用不等式的性质比较大小 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典型例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 例1．（2023·全国·高一专题练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（    ） A．且 B．或 C． D． 例2．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（    ）． A． B． C． D． 例3．（2023·高一单元测试）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一专题练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（    ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 变式2．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为（    ） A． B． C． D．0.8×5x＋2×4y≤50 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型二：作差法比较两数（式）的大小 例4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．不能确定 变式3．（2023·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·江苏·高一专题练习）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则必有（    ） A． B．且 C． D．且 变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 题型三：作商法比较两数（式）的大小 例7．（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定