全等模型（辅助线）——倍长中线2023-2024学年人教版八年级数学上册

全等模型（辅助线）一一 倍长中线 一分类学习 (一)基础方法运用 1.(1)方法呈现：如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6,D为BC边的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围， 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E,使DE=AD,再连接BE,可证△ACD丝△EBD,从 B 而把AB,AC,2AD集中在AABE中，利用三角形三边的关系即可判断中 线AD的取值范围是_（直接写出范围即可）.这种解决问趣的方法我们 称为“倍长中线法”， (2)知识运用：如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=2,AC=6,且线段AD的 长度为整数，求AD的长度 2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=4,AC=2,则AD的取值范围是 () B A.1<AD<3 B.2<AD<4 C.2<AD<6 D.2<AD<3 3.在△ABC中，AB=5,AC=3,AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围() 第1页（共6页） A,5≤x≤8 B.4≤x≤7 C.1<x<4 D. <号 第2页（共6页） (二)综合运用 1.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明. 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD (I)延长DE到F,使得EF=DE: (2)作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F; (3)过C点作CF∥AB,交DE的延长线于F, 0 0 B C B C B C F 图1 图2 图3 D 第3项（共6页） 2.【问愿探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图①，在△4BC中，点 D为BC边上的中点，AB=4,AC=6,求线段AD长的取值范围.我们采用的方法是延 长线段AD到点E,使得AD=DE,连结CE,可证△ABD2△ECD,可得CE=AB=4, 根据三角形三边关系可求AD的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”.则 AD的范围是： 【拓展应用】 (1)如图②，在△ABC中，BC=2BD,AD=3,AC=2N10,∠B4D=90°，求AB的 长 (2)如图③，在△ABC中，D为BC边的中点，分别以AB、AC为直角边向外作直角三 角形，且满足∠ABE=∠ACF=30°，连结EF,若AD=2N3,则EF=,(直接 写出》 E D D (图①) (图②) (图③) 第4项（共6页） 一课后作业 1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,AD是边BC上的中线，则AD的取值范围是 () B D C A.2<AD<6 B.1<AD<3 C.2<AD<4 D.1<AD<6 2.如图，在△ABC中，CD=AB,AE是△ABD的中线，AC=2AE, B E D (1)若AB=7,AD=5,则AE的取值范围是： (2)求证：∠C=LBAE: (3)求证：∠BAD=∠BDA, 第5项（共6页） 3.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E,使DE=AD, 连结BE.请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是(). A.SSS B.SAS C.AAS D.AS4 (24D的取值范围是(). A.6<AD<8B.12<AD<16C.1<AD<7D.2<AD<14 3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、中线“字样，可以考虑延长中线构造全等三角 形，把分散的己知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中。 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于F,且AE=EF,求 证：AC=BF, B 第6页（共6页）