全等模型（角含半角）——半角模型2023-2024学年人教版八年级数学上册

全等模型（角含半角）——半角模型 一 分类学习 （一）90°夹45° 1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：F、C、M三点在一直线上， （2）求证：EF＝FM （3）当AE＝1时，求EF的长． 2．阅读下列材料： 问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°． 解决下列问题： （1）图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是 　 　． （2）图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长． 3．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N． （1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：　 　，并加以证明． （2）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论． 4．（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠MAN＝α，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边与BC边分别交于M，N两点． ①当∠BAM＝∠CAN时，求证：BM＝CN； ②如图2，作斜边BC上的高AH，若AB＝1，α＝45°，且CN＝BC时，求BM的长； （2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，CD于点M，N．当点N恰为DC的中点时，求的值． （二）120°夹60°+通用结论 1．在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60°，∠CDB＝120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF． （1）试说明：DE＝DF； （2）在图中，若G在AB上且∠EDG＝60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论； （3）若题中条件“∠CAB＝60°且∠CDB＝120°”改为∠CAB＝α，∠CDB＝180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 2．问题背景： （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　． （2）探索延伸：①如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． ②如图2，若五边形ABEFD的面积为30，BE＝4，DF＝6，直接写出A点到EF的距离． 二 课后作业 1．已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF＝BE+FD． 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF． 任务： 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． $$