基本不等式综合复习讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

目录： 题型一、单变量求最值 （Ⅰ）配凑定值 （Ⅱ）分式函数 题型二：双变量求最值 （Ⅰ）常数代换 （Ⅱ）“和、积、平方和”三个结构 （Ⅲ）消元 题型三：实际应用 基本不等式 一、知识点梳理 （1）基本不等式：当时，，当且仅当 取等号. （2）利用基本不等式求最值：和定积最大， . （3）均值不等式链： 二、题型精炼 题型一、单变量求最值 （Ⅰ）配凑定值 例1、若，则的最小值为_________，此时________． 变式练习1：当时，求的最小值为___________. 变式练习2：若，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 变式练习3：设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________． （Ⅱ）分式函数 例2、若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 变式练习1：当时，则的最小值是 . 变式练习2：当时，则的最小值是 . 变式练习3：当时，则的最大值是 . 题型二：双变量求最值 （Ⅰ）常数代换 例3、已知正数满足，求的最小值． 变式练习1：已知实数，，则的最小值为_________ ． 变式练习2：设正实数满足，则的最小值为 A．4 B．5 C．6 D． 变式练习3：已知正数满足，求的最小值． 变式练习4：已知，，且，则的最小值为 __． 变式练习5：已知，则的最小值为（    ） A．50 B．49 C．25 D．7 （Ⅱ）“和、积、平方和”三个结构 例4、若正实数满足，则的最小值为 . 变式练习1：正实数满足，则的最小值为 . 变式练习2：若实数满足，则的取值范围为 . 变式练习3：若实数满足，则的最大值为 . 例5、若正实数满足，则的最大值为 . （Ⅲ）消元 例6、已知实数，，且，则的最小值为 . 变式练习1：若正实数满足，则的最大值为 . 变式练习2：已知，若，则的最大值为_______． 变式练习3：已知正实数满足，当取最小值时，的最大值为 . 题型三：实际应用 例7、杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 变式练习1：地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量 （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 变式练习2：设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求的最大面积及相应x的值. $$