1.1.1空间向量及其线性运算学习任务单-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

自主预习 回顾一下平面向量的相关知识: 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示方法: 几何表示法:用有向线段表示. 字母表示法:用小写字母表示;用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示. 3.相等向量:　　　　　　　　　　　　.  4.相反向量:　.  5.零向量:　.  6.单位向量:　　　　　　　　　　　　　　　　.  因为空间向量是既有大小又有方向的向量,所以平面向量的有关知识全都适用于空间向量. 7.共线向量:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是　　　　　　　　　　　.  8.共面向量:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　　　　.  课堂探究 一、平面向量与空间向量有关概念 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 1.求; 2.求. 二、空间向量的基本概念 【小试牛刀】 例1　(1)下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是(　　) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b,则|a|≠|b|; ⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同. 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 (2)下列说法正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.若a,b为相反向量,则a+b=0 C.零向量是没有方向的向量 D.若a,b是两个单位向量,则a=b (3)如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,顶点连接的向量中,与向量相等的向量有　　　　　　　　;与向量相反的向量有　　　　　　　　.(要求写出所有符合条件的向量)  跟踪训练　1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题正确的是(　　) A.是一对相等向量 B.是一对相反向量 C.是一对相等向量 D.是一对相反向量 2.给出下列命题: ①空间向量就是空间中的一条有向线段; ②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有; ③|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件; ④若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p. 其中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 三、空间向量的加法、减法 例1　化简下列各式: (1); (2); (3); (4). 例2　如图,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: (1); (2). 跟踪训练　 如图,在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD边的中点,化简: (1)); (2)). 【总结归纳】 向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则是解决这类问题的关键,相反向量、相等向量及两向量和、差的灵活应用,可以迅速解决这类问题. 四、空间向量的线性运算 探究一:共线定理 问题1:对任意两个空间向量a与b,如果a=λb(λ∈R),a与b有什么位置关系?反过来,a与b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)? 探究二:共面定理 问题2:任意两个向量是共面的,若有三个向量,在什么条件下可以共面? 思考1:已知空间中任意一点O与两点A,B,满足向量关系式=x+y(x+y=1)的点P与点A,B是否共面? 思考2:已知空间中任意一点O与不共线三点A,B,C,满足向量关系式=x+y+z(x+y+z=1)的点P与点A,B,C是否共面? 练习1　在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　) A.=3-2 B.=0 C.=0 D.=-OB+ 练习2　已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,+β,则β=　　　　　.  核心素养专练 1.有下列说法: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb; ③若=x+y,则P,M,A,B共面; ④若P,M,A,B共面,则=x+y. 其中正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④ 2.已知A,B,C,D为空间中任意四个点,则等于(　　) A. B. C. D. 3.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列互为相反向量的是(　　) A. B. C. D. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　) ①; ②; ③; ④. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式: (1);(2). $$