1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2　充要条件 第一章　§1.4　充分条件与必要条件 课程标准 (1)理解充要条件的意义． (2)会判断一些简单的充要条件问题． (3)能对充要条件进行证明． 复习导入 一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 记忆方法：箭尾是箭头的充分条件 箭头是箭尾的必要条件 充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有________，就记作__________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________条件. 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 ________条件． 注意　p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 1.正确的画“√”，错误的画“×” (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”表示具有等价性．(　　) (3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　) √ √ √ √ 2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比例”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q， 故p是q的充要条件． 3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件(　　) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 答案：C 解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大， 所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件． 4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． 充要条件 解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件． 充要条件的判断 例　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　) A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 答案：AD 解析：对于结论A，由x3＜－8⇒x<－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x>2或x＜－2⇒x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，D正确． 方法归纳 判定充要条件常用方法 巩固训练　 (1)命题“x＝1且y＝2”是命题“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(　　)条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 答案：A 解析：由x2＋y2＝2x＋4y－5， 可得(x－1)2＋(y－2)2＝0， 解得x＝1且y＝2， 所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要条件． (2)(多选)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有(　　) A．r是q的必要条件 B．s是q的充分条件 C．s是p的充分必要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 解析：由题意，p⇒r，r⇒q，r⇔s，s⇒p，则p⇔r⇔s⇒q. 答案：BC 充要条件的证明 例　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 方法归纳 充要条件的证明思路 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”： ①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； ②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.   巩固训练　 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.   证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，