1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量的数量积运算 学习目标 1.掌握空间向量的夹角的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题,强化数学运算的核心素养. 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 问题1 你能类比平面向量的数量积运算,把它推广到空间向量吗? 追问(1) 学习平面向量时,我们是如何研究它的数量积运算的? 夹角 数量积的定义 运算律 应用 追问(2) 什么是平面向量的夹角?你能类比平面向量,给出空间向量夹角的概念吗? 知识点 空间向量的夹角 什么是平面向量的夹角?你能类比平面向量,给出空间向量夹角的概念吗? 平面向量的夹角 两个非零向量a,b,在平面内任取一点O,做 OA=a , OB=b ,则∠AOB叫做向量 a,b的夹角,记作〈a,b〉,规定0 ≤〈a,b〉≤ π. . O α A B a b 如果〈a,b〉= ,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b . π 2 空间向量的夹角 a b . O A B 两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,做 OA=a , OB=b ,则∠AOB叫做向量 a,b的夹角,记作〈a,b〉,规定0 ≤〈a,b〉≤ π. 如果〈a,b〉= ,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b . π 2 平面向量的数量积是什么?你能类比平面向量,给出空间向量数量积的运算吗? 知识点 空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 问题.如果空间向量 是两个非零向量,它们的数量积有哪些性质呢? >0 <0 空间向量数量积运算律 向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ,即=⇒=,=⇒,都不成立. (1)= (2)()·= (3) ·(+)= () =·() + (交换律) (分配律) 思考 对应向量成立吗? (数乘结合律) 高中数学 选择性必修第一册 RJ·A (1)如图(1),在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,=||cos〈,〉,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地,可以将向量向直线投影(如图(2)). 向量投影 (2)如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到 ,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 高中数学 选择性必修第一册 RJ·A 即时巩固 2.若=0,则=0或=0.( ) 3.对于非零向量,由=,可得.( ) 4.若非零向量,为共线且同向的向量,则=||||.( ) × √ × √ 高中数学 选择性必修第一册 RJ·A 探究 求空间向量的数量积 例已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求: 思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照 数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解. 例.利用数量积求角度 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_. 90° 探究 利用数量积求距离或长度 例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 题型 用数量积证明垂直问题 17 总结 18 跟踪训练 测 A B C D 20 测 3.已知平行六面体ABCD﹣A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA′=5, ∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°, (1);(2)求AB’的长; (3)求AC’的长. 课本练习 A B C D 解析:(1)·=||| cos<,>=5×4×cos 60°=10; (2)因为=+ ||=== (3)因为=5×3×cos 60°=,=3×4×cos 90°=0 所以=(++) =+++2(·+·+·) =+++2(0+10+)=85=. 21 思 探究 利用空间向量数量积运算,能够解决空间中哪些问题? 22 思 问题 平面向量数量积可以解决哪些问题?空间向量是否可以解决同样的问题? 模长,角,平行,垂直 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来 ,因此,立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决. 23 测 l m n g 证明:在平面α内作任意一条直线,分别在直线