1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 教学目标 1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象) 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算) 3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算) 2 1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些？ [答案] 向量的加法、减法、数乘运算. 2.空间向量的线性运算满足哪些运算律？ [答案] 向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律. 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 3 3.如何确定两条异面直线的夹角？空间向量的夹角应该如何定义，如何表示，其取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？ [答案] 设 <m></m> ， <m></m> 是两条异面直线，经过空间任一点 <m></m> 作直线 <m></m> ， <m></m> ，把 <m></m> 与 <m></m> 所成的锐角（或直角）称为直线 <m></m> ， <m></m> 的夹角.已知两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ，在空间任取一点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 即向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角，其范围是 <m></m> .若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 相互垂直. 4.类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算？ [答案] <m></m> . 返回至目录 4 5.类比平面向量数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ [答案] 空间向量数量积的运算满足交换律、结合律和分配律. 6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角？ [答案] 能判断垂直关系，若 <m></m> ，则向量 <m></m> ， <m></m> 垂直. <m></m> . 返回至目录 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两向量的数量积是实数.( ) √ （2） 对于非零向量 ， ， 与 ， 相等.( ) × （3） 对于任意向量 ， ， ，都有 .( ) × （4） .( ) √ 自学检测 2.已知两异面直线的方向向量分别为 ， ，且 ， ，则两直线的夹角为( @11@ ). A. B. C. D. B [解析] 设向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角为 <m></m> ，则 <m></m> ，所以 <m></m> ，则两个方向向量对应的直线的夹角为 <m></m> . 返回至目录 6 3.已知 ， ， 是两两垂直的单位向量， ， ，则 等于______. <m></m> [解析] <m></m> . 4.已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 上的投影向量为_______. <m></m> [解析] 空间向量 <m></m> 在向量 <m></m> 上的投影向量为 <m></m> . 返回至目录 7 空间向量的数量积运算 一. 数量积的定义： 我们规定零向量与任一向量的数量积为零，即 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫 作 与 的数量积（或内积），记作 ，即 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. ③特别地，a·a＝____或|a|＝ ④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______ ⑤|a·b|≤|a|·|b| 空间向量的数量积的性质 a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 ＝ ||cos< > 解惑提高 数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_______，λ∈R 交换律 a·b＝____ 分配律 (a＋b)·c＝_________ λ(a·b) b·a a·c＋b·c 知识点 　投影向量及直线与平面所成的角 1．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量． α a b a c a (2)向量a在直线l上的投影 如图②向量c称为向量a在直线l上的投影． α a a c l (3)向量a在平面β上的投影 如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，则向量A′B′(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． β a a A B A′ B′ a′ 2